2005年07月30日

7/30 数学・よくある間違い

テーマ:お勉強(中学&高校)


今回のお勉強は、間違えやすい分数の計算について。

【 問題 】
つぎの式の右辺に間違いが1つある。それは何か?(左辺は正しいとする)

4a-5 _ 7a+8 _ 8a-10-7a+8
..3......6........6


【 解答 】
分子の最後尾8の符号+。

一応理由を説明すると、

_ 7a+8 _ _ 1×(7a+8)
....6.....6

_ _ 7a _ 8
....6...6

_ -7a-8
....6

であるので、+8 は間違いで、-8 が正解。


この間違いはひじょうに多いので、ご用心ご用心。

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2005年07月22日

7/22 数学・正直者はバカをみる?

テーマ:お勉強(中学&高校)

「正直者はバカをみる」とはよく聞くコトバ(しかし教育者が口にすべきでないコトバ)だが、数学の計算でもあてはまる。
例によって実例をあげてご説明させていただく。

【問題】つぎの計算をせよ。
63×75
25×18

【解答例 A】
63×75=4725 25×18=450 だから
4725
450
約分して
21
2
と問題に正直?に掛け算を先におこなう方法。

【解答例 B】
63と18を9で約分して 63→7 18→2
75と25を25で約分して 75→3 25→1 となるので
7×3 _ 21
1×2  ̄ 2
と約分をまっ先におこなう方法。

2つの解答例をくらべれば、【解答例 A】は
①掛け算という余計な手間を食い
②4725 と 450 の約分が数が大きいのでやりにくく
③やることが多いのでミスを犯す率も高くなる。
のであって、バカをみているのは一目瞭然であろう。

平方根の計算(中3の範囲)でも同様であって、根号の中の数を根号の外に出す場合、たとえば根号の中身が
6×42 であれば、
6×42=252
と掛け算をおこなってから考えるのではなくて、
6×42=(2×3)×(2×3×7)=(2×2)×(3×3)×7
として 2 と 3 を根号の外に出す方がお利口さんである。
( 6×6×7 として 6 を根号の外に出す方がさらにお利口さんなことはモチロンである。)

とまぁこのように掛け算はすぐにやらない方がバカをみず、御利益にありつける場合が多いようである。

閑話休題。ふだん習慣的におこなっていること(数学にかぎらない)の中にバカをみていることがないかどうか再点検してみると以外な新発見があったりして、人生のたのしみがふえるんじゃないか、と小生は思いますが、貴殿は如何?




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2005年07月16日

7/16 数学・「書く」は偉大

テーマ:お勉強(中学&高校)



今まで3回にわたって「書くことの御利益(ごりやく)」をご紹介した。
今回はこれらをまとめてみよう。

[6/15 間違い暗算] では、
2つのタスク(たとえば「符号(+-)を変えること」と「式を展開する(カッコを外す)こと」)を暗算で同時におこなうとミスを誘発するので、タスクを完全に分け、各タスクをそれぞれ紙に書いておこなうべし。
というはなしで、書くことの御利益は
【ミスを減らす】
ということであった。

[6/27 書けば解ける] では、
頭の中だけで考えてわからないときは、紙に書いてみると問題の全体像や解決策が見えてくる。
すなわち書くことの御利益は
【思考力増強】
であるというはなしであった。

[7/6 図形に書き込む] では
図形に、わかっていることを(長さや角が等しい、とか平行とかを記号で)書き込むと問題の解決策を見つけやすい。
ということで、書くことの御利益は上とおなじく
【思考力増強】
であった。

まとめると、書くことの御利益は
【ミスを減らす】と【思考力増強】
の2つということになるが、もうひとつ
【記録(or保存)】
という一面もある。

ところで
もし「書く(および描く)」ということが存在していなかったら、現在の文明社会も存在しないであろう。
科学者は紙とエンピツを取り上げられたら、あたらしい理論を展開することができるだろうか?
エジソンだって書くことなしに発明ができただろうか?
文学作品も絵画も存在しないわけだ。
そう想うと「書く」とは偉大なことだと思う。

これは地球上では人類だけがもつ特権だ。
この特権を利用しない手はない。
「めんどっちい」とか「ノートや教科書がきたなくなる」とかおっしゃらずに、おおいにこの特権を行使していただきたい。

切望申しあげる。


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2005年07月07日

7/7 数学・図形に書き込む

テーマ:お勉強(中学&高校)


前回(6/27 書けば解ける)の続編でありまして、
「図形に、わかっていることを(長さや角が等しい、とか平行とかを記号で)書き込むと"御利益"がある」
というおはなし。

前回と同様、問題を例にして説明させていただく。

【 問題 】
図のように、頂点Aが重なる正三角形ABCと正三角形ADEがある。
Dが辺BC上にあるとき、∠ACEの大きさを求めよ。
(中学2年の数学教科書に載っている問題である。)

まず、記号が書き込まれていない下図を見て、お考えいただきたい。
図1
なかなか妙案が浮かばないのではないだろうか?

(スラスラ出来ちまった方は前回同様、以下の駄文はお読みになる必要はない。
ゲームのつづきでもやってください。)

では、長さについて等しいことを示す記号を書き込んだ次の図をご覧いただきたい。
図2
すると、求めるべき∠ACE(?マークの角)を含む△ACEと、それと形が似ている△ABDの二つについて、等しいという記号がついている辺は、
AC=AB・・・① と
AE=AD・・・②
であることが容易にわかる。

ここで、もし
∠CAE=∠BAD・・・③
であれば、①,②といっしょになって、三角形の合同条件のひとつである
「2辺とその間の角がそれぞれ等しい」
がOKになるので、両三角形は合同になり、したがって
∠ACE=∠B=60°
となって、一件落着と相成る。
(∠B=60°の理由:△ABCは正三角形なので3つの角はすべて60°)

そこで、③がOKかどうかだが、③の両辺は、正三角形の1つの角(∠DAE、∠BAC)すなわち60°からそれぞれ同じ∠DACを差し引いたものであって、式に書けば、
∠CAE=∠DAE-∠DAC=60°-∠DAC
∠BAD=∠BAC-∠DAC=60°-∠DAC
よって
∠CAE=∠BAD (③と同じ)
であるから、③は100%OKである。

したがって、正解は
∠ACE=60° でゴザル。

さて、はなしを本題にもどして、この問題が解けるか否かは、「△ACEと△ABDが合同であること」に気がつくことに懸かっており、上の2つの図のどちらが気づき易いかといえば、モチ、下の記号入りの図の方であろう。
「上の図の方」とお答えの方には、お臍がまっすぐかどうかご点検をおすすめする。

以上のことから、図に記号を書き込むと御利益があることをご理解いただけたと思う。
おおいに利用していただきたい。

なお、下記のようなビューティフルな別解もあるので、ご参考まで。
ただし、現行(H13年検定)の教科書の記述を少し超えるが。
(旧教科書ではセーフである。)

【別解】
図3
△ADEは、はじめ、AD,AEがそれぞれAB,ACに重なる位置にあったとし、その位置から点Aを中心として反時計回りの向きに∠CAEだけ回転移動したと考える。
また、はじめの位置では DE//BC すなわち DEとBCのなす角は0°であったから
∠CAE=∠CDE (両方とも回転した角)
さらに、点D,C,Eを通る円において、点Aは弦CEについて弧CDEと同じ側にある。
この2つのことから、定理(*)により、点Aは弧CDE上にあることになる。

すなわち4点A,D,C,E は同一円周上にある。
そして、∠ACEと∠ADEは共通の弧AEに対する円周角になっている。

したがって定理(**)により
∠ACE=∠ADE=60°
(別解END)

定理(*)
円Oで、点Qが弦ABについて弧APBと同じ側にあって、
∠AQB=∠APBならば、点Qは弧APB上にある。
(現行教科書では削除されている。)

定理(**)
同じ弧に対する円周角の大きさはすべて等しい。


この別解をビューティフルと思っていただけるか否かは、もちろん貴下のご自由である。


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