問題）下の図の三角形ＡＢＣは正三角形です。正三角形ＡＢＣの内部に図のように頂角を１５０度とする三角形ＰＢＣを描きます。ＰＢ＝ＰＣ＝２㎝となります。三角形ＰＢＣの面積はいくつになりますか。
解答）
１㎝²
解き方①）
△PBCを取り出し、下の図のように置いてみます。
上の図で、線分BPを延長すると、３０度、６０度、９０度の直角三角形ができます。この三角形は正三角形を半分にしたもので、一番長い辺と一番短い辺の比が２：１になります。つまり、△ＰＢＣの辺ＰＢを底辺にしたときの高さは１㎝になります。
面積は、２×１÷２＝１ になります。
解き方②（三平方の定理から各辺を求める））
解き方①に比べて、とても面倒なのですが、数学では△ＰＢＣの面積を求める問題の前に、△ＡＢＣの１辺の長さを求める問題が出題されることがあります。そのため、遠回りしますが、各辺の長さを求めてみましょう。下の図を見てください。
上の左の図で、点Pから辺ACに垂線をおろし、その交点をDとします。また、点Aと点Pを結びます。∠ＰAD＝３０度になります。（三辺がそれぞれ等しいので、△PAB≡△PAC）
△PDCは二等辺三角形になるので、PC：PD：DC＝√２：１：１ になるので、PD＝DC＝√２㎝になります。
また、△PADの三辺の比はPD:PA:AD＝１：２：√３ になるので、PA＝２√２、AD＝√６ になります。
また、上の図の右の図から正三角形ABCの１辺と高さの比は２：√３になります。比の関係から、AからBCにおろした垂線の長さは、２：√３＝（√６＋√２）：ｘ からｘを求めると、
（３√２＋√６）/２ が得られます。
△ＰＢＣの高さは、（３√２＋√６）/２ － ２√２ ＝ （√６－√２）/2 になります。
よって、△ＰＢＣの面積は、（√６－√２）/2 × （√６＋√２） ×（1/2）＝（√６－√２）（√６＋√２）/４
＝４/４＝１ が得られます。
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