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2019年 東大数学 理系第3問

出ました、空間図形。

東大では毎年頻出のテーマです。

去年の空間図形(第6問)は非常に難しかったですが、今年もなかなかの難易度です。

そして、苦手にする人が多いということで、3回に分けてアップしていきます。

丁寧にわかりやすく解説するので、長くなりますがお付き合いくださいませ。

さっそく見ていきましょう。

空間図形は、ほぼ必ず切断する。

まずは、空間図形の問題そのものの考え方から行きましょう。

平面図形は考えやすいけど、空間図形になると苦手という方がいますが、

それ、恐らく人類全体の悩みですよ(笑)

 

平面に比べて情報量が多いし、

そもそも平面に描かれた問題文という活字から、実物しない空間図形をイメージして取り組むわけですから、解きやすいわけがない。

 

この時に役立つのが、切断です。平面で空間図形を切断します。

受験数学において、「切断とは次元を落とすこと」です。3次元の空間図形も、切断すると2次元の平面図形に早変わり。

すると計算用紙(2次元)にも正確に描けて、考えやすくなる、という寸法なのです。

 

平面との共有点はどうなる?

では、平面で空間図形を切断するとどうなるか。

切断が苦手だという人も多いのですが、ここで使うのは2つだけです。

・平面と直線の共有点は、点。

・平面と平面の共有点は、直線。

この、2つの簡単な事実をもとに考察します。

 

ちなみに、当たり前すぎて、上に含めませんでしたが、

・互いに平行でない2つの平面は必ず交わり、共有点が直線(交線という)になる。

・互いに平行でない直線と平面は必ず交わり、共有点が点になる。

というのも、大事ですよ。

 

もう少し応用して、(イメージしながら読んでください)

・平面αと平面βが平行な時、どちらにも平行でない別の平面との共有点(交線)は、互いに平行である。

なんかもよく使いますけどね。

 

ただし、どれも別に難しいことではありません。ちゃんと図を描きながら条件を整理すれば、当たり前のことばかりです。

(1)y=0の切断面① 四角形が登場

では、(1)の解説に入ります。

とりあえず、正八面体をxyz平面上に描いてみましょう。ちょっと複雑ですが、書かないよりはイメージできると思います。

八面体の辺は赤色y=0の切断面は青色で登場します。)

 

今回は、y=0の平面での切断を問いている問題ですから、y座標が0の点を調べます。

すると、PAECの四点が出てきますね。

ここで注目したいのは、PとA、AとE、EとC、CとPが全て正八面体の辺だということです。つまり、y=0で切断したときに、他の点を考慮しなくてよいということです。

ということで、y=0の図示では、四角形PAECを描けばOK。座標も全て問題文に書いてありますから、そのままzx平面に書き込めばすみます。

 

(1)y=0の切断面②直線と平面の共有点は点

次に、平面αとy=0の共有点の図示に参りましょう。

ここで大事なのは、平面αも、y=0も平面ですから、書き込む図形は「直線」です。y=0の中に、どのように書き込めばよいか考えながら、進みます。

 

平面αの定義を考えると、「点Mと点Nを通り、直線AEに平行」です。

点Aと点Eは、先ほど言った通り、y=0の上の点ですから、そのまま答えの図に登場します。

しかし、点Mと点Nはy=0の上にありませんから、答えの図にMとNは登場しません。

 

そこで、直線MNとy=0の交点を考えます。

と言っても、M(1,1,0) N(1、-1、0)ですから、中点がy=0にあるのがすぐにわかってラッキー。

その中点をLとおくとL(1、0、0)が、直線MNとy=0との交点であり、答えの図に書き込む点です。

 

ここでも、「平面と直線の共有点は、点」を使いました。

 

(1)y=0の図を描いてみよう。

では、平面αを、実際にy=0に書き込んでみます。

するとこうなりますね。

(今後、平面αは緑色で登場します)

 

書き込んでみると、結構簡単♪

なにせ、点Lを通り、直線AEに平行な直線を求めるだけですから。

ということで、四角形PAECも、同じ図に書き込むと、こうなります。

平面αは、辺PCと交わるか、辺PAと交わるかが分からないので、場合分けをします。

ただし、これも図示してみようとすると、当然生じる疑問なので、難しくありません。(というか、場合分けをしないと描けない)

 

一応、(1)の答えの全体像をお見せしておきましょう。

(1)はこれで終わり。では、明日は(2)の解説に行きますね。

 

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