今日は2000年の東大文系数学第3問です。

 いつも通り、問題をどうぞ!  

 

今日、この問題を取り上げた意図は「練習問題」です。

ひねりもないし、複雑さもない。 ただただシンプルな問題です。こんなに簡単な確率漸化式が東大でも出題されてたのか、と目を疑うような問題。

 今後、読者の皆さんには東大の確率をマスターしてほしいのですが、先に簡単な問題を扱ってしまい、確率漸化式のポイントを押さえた上で今後の問題を見てほしいので、あえて古い問題を持ってきました。 

 

遷移図書いて終わり 

では、問題の解説に入りますが、四面体の4頂点にいる確率をそれぞれP1(n)~P4(n)と置き、遷移図を書きます。

 矢印が多くなりますが、対称性があるので、あまり気にしなくてOK。 

遷移図を漸化式に反映すると、やはり対称性のあるかたちになります。 

 

ここで、確率漸化式では頻出の式「全部足したら確率1」を利用してP1だけの式にすれば、あとは普通の漸化式が残って解くだけ。 

 

・遷移図が描きやすい 

・漸化式がシンプル 

・「確率足して1」の式が登場する 

 

などなど、練習問題として良い問題でした。 では、手書きの解答をどうぞ。  

ちなみに、P1、P2、P3、P4の四つの漸化式を立てずに、いきなりP1だけの漸化式を出しても解けます。

(その方が計算量が少ないので素晴らしい) 

 

次回以降は、もう少し難しい問題を扱います。

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