さて、今日は続きの第3問です。

 まずは問題からどうぞ。 (1)教科書例題レベルの軌跡の問題 

 

点PとQを取って、折れ線の線分の長さが一定の軌跡を求めよ、という問題。

 なんだ、この折れ線!! 変な設定だな、と思いますが、問題としてはシンプル。 軌跡の問題の常套手段と同じで、点Pの座標を(x、y)とおき、条件式を立式すれば出てしまいます。 

 

ただし、東大入試レベルの軌跡の問題ならば、ほとんどの場合、範囲の限定が必要でしょう。

 今回の問題の場合、求める方程式は放物線になるのですが、放物線全体ではなく、x軸の上側だけになります。 範囲の限定を忘れる人が多いので、気をつけましょう。 

 

と、これで解説が終わりなんですが、これではつまらないので、いくつか補足しておきます。

 軌跡の問題3種類 

僕は普段、軌跡の問題には、3種類あると教えております。  

 

 まず、1種類目は立式して整理すれば、答えが出てきてしまうタイプ。

 例えば、 このような問題。 

他のタイプのように、パラメータを消去する必要がありません。   

 

 

タイプ2は、連動型。つまり他の図形に連動して軌跡が動くというものです。

 例えば、 というような問題。 

円に連動して、点が動くと、小さな円が描けるという問題です。 

 

 最後にタイプ3は、それ以外全部。 

このタイプに共通する解法としては、求める軌跡の動点の座標を(x、y)とおいて、条件式を立式し、パラメータを消去するというものです。 

 

以上、簡単ではありますが軌跡の3種類でした。 

それぞれ基本問題の解法を確認しておいてくださいね。  

 

 (2)面積計算

 

(2)は面積計算です。

しかし、x軸対称になっている2つの放物線が囲んだ面積ですから、6分の1公式を使えば1発。 

βーαの計算も簡単ですし、それほど難易度は高くありません。正確に計算すれば解けるでしょう。

 xの2次の係数が1ではないのに注意です。

 

 (3)最大値なので、微分→増減表→グラフ 

最後は最大値の問題。 

最大最小問題は、グラフを書く問題です。グラフを書かなくても解ける問題がいくつかあるのですが、まずはグラフが書けるかどうかを確かめましょう。 

しかし、微分すべき式が、ルートの中にも外にもaの関数が登場しています。この式の微分で悩む方が多いかもしれませんね。 

簡単です。 

ルートが登場する式の最大最小は、ルートの中に全部入れてしまう 

というポイントを一つ覚えておけば、事足ります。

 

ルートの中に入れてみると、4次関数が登場。 珍しくはありますが、ビビる必要はありません。微分してやりましょう。 

すると、きれいに因数分解出来ますし、増減表も簡単。ありきたりな、a=1/2という値も出てきます。 

ということで、解説終了。 

細かいところは、手書きの解説をご覧くださいませ。  

 

軌跡を求め→面積を求め→その最大値を求める という、非常にシンプルですが、色々問われる良い問題。

しかし、変なヒネリもないですし、シンプルで良い練習問題ですね。 出来れば、15点以上取りたい。

計算が少し煩雑ですが、これくらいは問題なくこなしたいところです。 

では、明日は第4問です。