極線ってご存知ですか?

先日のお笑い数学イベントで披露したネタなんですが、認知度が低そうだったので、書いておきましょう。

 

円の極線というテーマの話があります。

数Ⅱの図形と方程式の単元で、話題になることがあるのですが、教科書には登場しない知識です。

証明はやや知識が必要ですが、今日は証明はしません。

ただ、図形を見て、美しいな~と思ってくれればOKです。

 

極線を書こう!

ではまず、極線とは何ぞやってところから。

 

まずは、紙に円を描いて下さい。

次に、円の外側に1点とります。(点Pとします。)

すると点Pから、円に向かって接線が2本引けますね。

その接点をT1、T2とします。

この時、T1とT2を結んだ直線のことを「極線」と言います。

 

下の図を見た方が分かりやすいでしょう。

 

さて、この極線に関しても、美しい性質があるんですね。

これに関しては、こちらの記事に書いておきましたので、どうぞご覧ください。

 

余談ですが、今日、この記事を書き始めて、

「ふっふっふ。新しいネタを投入してやるぜ~」

と意気込んでたんですが、作図してたら何となくデジャブのような感覚になりまして。

 

まさかな~と思って、自分のブログを検索してみたら、ほんの2か月前に同じネタ書いてますね。

これは健忘かも。。。

 

ただ、上のリンクでは書いてない事も紹介するので、ご勘弁を(笑)

 


極線を2回書くと・・・

さて、まだ話は始まっておりません。まだ極線を紹介しただけ。(あと、自らの健忘を披露しただけ)

 

極線の上からもう一度極線を引くのが、今日のメインテーマです。

 

先ほど書いた極線の上に、好きな点を取って下さい。(点Qとします。

点Qから、円に向かって接線をエイヤっと2本引くと、接点が2個出来ますね。

(点S1と点S2とします。

最後に、S1とS2を結んで直線を引くんですが、これがなんと、始めの点Pを必ず通ります。

 

証拠の図をどうぞ

 


どうですか?美しいでしょう。

何せ、必ず元の点を通るんですからね。

今回の記事を書く上で、間違えて同じ作業を違う円でやっちゃったので、折角だから載せときます。

 

ほら、どんな円でも出来るでしょう?

 

他の二次曲線でも出来る!!

まだまだ話は終わりません。

なんとこれ、他の二次曲線でも出来るんです!

 

 

まずは楕円。

 


続いて、放物線(二次関数の図形)

 

 

最後に双曲線(反比例のグラフ)

 

 

これは不思議ですよねー。

数学が苦手、嫌いな生徒に見せても、不思議だな~と興味を持ってもらいやすい話題です。

どうぞ使って下さい。

 

証明は・・・?

さあ、気になる証明なんですが、ここではしません!

 

いや、出来ますよ。

出来ますけど、長くなってしまうし、難しいので、ここでは書きません。

僕が知っている証明法は、数Ⅱの図形と方程式の時に出て来る「直線束」の性質と、二次曲線の接線の方程式を使うものです。

 

気が向いたら、今度書きます。

 

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