最難問。1手目をどうする!?

今日は、第三問です。これはやられましたね。

 

 

今回の東大駿台実戦、問題文の短さに、何かこだわりがあるのでしょうか?

これは毎回1問くらい出る「1手目に困る問題」ですね。

 

第1問の、割り算の余りの問題

第2問の、場合の数・確率の問題

は、どの分野で解くのか、迷わず行けると思うのですが、第三問はそもそもどの公式を使って良いかが分からない。


さあ、皆さんだったら、どの手を打ちますか??


実は2手のみ

と、言いつつ、実は2手しか選択肢がありません。
これ、河合のオープンの時にも散々言いましたが、存在領域は2種類しか解法がないからです。
①方程式の解の配置として解く
②ベクトルの存在領域として解く
 
詳しくは、河合の第一問、第三問の時の解説に書いてありますから、そちらをご覧ください。
リンクは↓

 

【世界一早い東大模試解説】2017夏 河合オープン文系第3問

 

ちなみに、今年の東大入試でも出ています。その解説も合わせてどうぞ。

2017年 東大文系数学 第2問の解説(ベクトル・領域図示・面積)

 

ま、恐らく、河合も駿台も、今年の入試を見て問題を作っているんでしょうね。存在領域の問題は、対策必須でしょう。

 

解の配置として解くと・・・?

河合のオープンは、解の配置として解く問題が出題されましたが、駿台ではどうでしょうか?

実は、解の配置として解くと、痛い目を見る問題でした。

の理由を説明しましょう。

 

この問題、方程式としてみ見た時に、真っ先に思い出すのは「対称性」

あらゆる数学の先生が、口角に泡を飛ばして重要だと絶叫するのが対称性ですが、この問題は罠かもしれませんね。

 

この問題、対称性を意識して、三角関数の公式を使おうと思うと、

2辺とも2乗して足すのがスタンダードな流れだと思うのですが、、、、ここに罠があります。

 

試しに、多くの人が間違ったであろう、誤答例を作ってみました。

 

 


辺々2乗して足すと、加法定理が使えて、「お☆・・・これは、上手く行きそうだ」と一瞬思ってしまいますね。

左辺を動かした時に、右辺が解を持てば良いから・・・と解の配置で解いてはいけません。

手書きの誤答例にも書きましたが、この式はxとaが好きな値を取れません。

xとaの関係式①があるため、xが動いたらaも動いてしまいます。

 

同様に、yも動けばbも動く。

だから、xとyを動かしたら、同時にaとbも動かして考えなければなりません。

ここが引っかかり易いミスでしょう。

マジメに教科書や問題集の勉強をして、素直に言われた通り解こうとすると間違える。

うーん、良い問題というべきか、性格の悪い問題というべきか・・・。

 

正解に辿り着くの解法はベクトルだった。

実は、丁寧に解の配置の問題として解いていっても解けます。それが、駿台の模範解答の別解に載っているんですが、ちょっと計算量が多すぎて、試験中に思いついて正しく計算出来るかというと、現実的ではありません。

ということで、解の配置ではなく、ベクトルで解くというのが、正解に辿り着く解法でした。

 

さっきから言ってるベクトルの存在領域の問題っていうのは、手持ちの4STEPで言うと、この問題に該当しますね。

ここに存在領域の図示が登場します。

 

 

ベクトルだと思って考えると、(cosx, sinx) というベクトルと、(cosy, siny)というベクトルの和が、(a, b)というベクトルになっていると見れます。

(と言っても、無理矢理ベクトルだと思って解かなければ気付けないでしょうが)
 
僕の手書きの解答では、
ベクトルxを(cosx, sinx)
ベクトルyを(cosy, siny)
ベクトルaを(a, b)
と定義して、ベクトルxの先っちょに、ベクトルyを書くようなイメージをして解いてます。
(駿台の模範解答には、ベクトルこそ出てこないまでも、概念は同じです)
 
教科書に例を見ないタイプ
ただ、ここで問題があります。
ベクトルの存在領域の問題は、ベクトルそのものは動きません。
上に貼り付けた4STEPの例題も、2本のベクトルは動かず、ベクトルの実数倍と、係数だけを見て解きます。
 
しかし、この駿台の問題はベクトルそのものが動きます。
ベクトルの成分が三角関数ですから、単位円上を動いてしまいます。
つまり、単位円を描くベクトルに、単位円を描くベクトルを足し合わせるという問題なのです。
 
こういうタイプの問題、教科書や基本問題集には登場しないんですよね。だから、教科書や問題集を一生懸命に勉強しても、延長線上にない問題だと思います。
 
考え方も、「予選決勝法」という考え方を使うんですが、これは普通関数の時に出てくるんですよね。
 
という事で、ベクトルの発想を得たり、予選決勝法の発想を得るのは、厳しいと言えるでしょう。僕は、こういう問題はあまり好きではありませんね。
 
2017年の東大入試では、ちゃんと教科書の内容に準拠した問題が出ていましたから、解けましたから、この問題には、うーん、、、という感じです。
 

円の上で円を描いてみた。

解答を進めてみましょう。


ベクトルxも、ベクトルyも、文字を変えただけで、同じ条件です。

調べてみると、xの範囲やyの範囲が、0からπまでです。

と言う事は、単位円の上半分という事ですね。

 

だから、単位円の上半分の色々な点から、単位円のの上半分を書きまくるのが、求める領域です。

駿台の模範解答では分かり辛かったと思うので、僕は実際にやってみました!

手書きの解答をご覧ください。

 

 

赤い点線の上に、コンパスの針を刺して、上半分の円を描きまくってみました。(結構、大変だった)。

すると、見事、大きな半円から、小さい半円を二つくり抜いた形になりましたね。

これが、求める領域です。

 

まとめ

ま、この問題は、一手目の着想も難しいですし、点数が取れなくても気にしなくて良いでしょう。

第一問と第二問で確実に点数を取って、第三問と第四問は部分点が少しとれたらOKというような作戦で良いと思います。

 

しかし、学ぶことは多いですね。

始めの2本の方程式からベクトルの発想に行きつくところや、ベクトルの和で存在領域を求めることなど、初めて学ぶことも多いと思いますから、しっかり復習して下さい。

 

 

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