世界一早い東大模試解説を実施します!

東大受験生の皆さん、昨日の東大模試はいかがでしたでしょうか?
夏の東大模試は、一大イベント。
受験生を心から応援企画ということで
「世界一早い東大模試解説」を書きます。
 
僕のキャパシティ的に、数学を毎日一問ずつしかアップ出来ませんが、今週は毎日アップしますので、どうぞお楽しみに。(多分、毎日・・・)
※今週は河合の東大オープン、来週は駿台の東大実戦に行く予定です。
 
昨日の東大模試の数学解説。まずは問題全体を眺めよう!
では、早速昨日(厳密には一昨日)実施された問題の解説です。まずは文系第一問の問題はこちらでした。
まずは、問題の全体を眺めましょう。
ふむふむ、3次関数と直線があって、交点の内分点の軌跡とな。
最後に面積計算か。
このくらいざっくりとでも良いので、必ず初めに全体を見てください。
問題としては、よくあるタイプです。
 
河合の公式解答ってどうよ?スタンダードな解法はこうだと思うけど。
まずは(1)。
3次関数と直線が、x>0で異なる2点で交わる問題です。
グラフの交点の問題は死ぬほど見てきたと思いますが、原則として一手目は一択で決まりです。連立しましょう。
 
中学2年生で習う、
「関数のグラフのx座標 = 連立方程式の解」
という事実、非常に大切です。
今、大事だな~と皆さんが思ってる、数倍は大切だと思って下さい。
意外と受験生の皆さん、スルーしています。(これ、後でも出てきます。)
 
連立したら、方程式が出てきます。
方程式は右辺を0にするのが大原則。やってみると、左辺がxでくくれますね。
要するに、x=0で解を持つ(つまり、x=0に交点がある)ことがわかりました。
 
しかし求める条件は、「x>0に異なる2解を持つ」ですから、x=0は無関係。
よって、くくっらカッコの中の「2次式がx>0に異なる2解を持つ条件」を満たせば良いとわかります。
 
ここまでは、超基本事項しか登場してませんので、迷わず到達してほしいところなのですが、ここからは迷う所です。
 
二次方程式がx>0に異なる2解を持つ条件に関しては、教科書で2度も登場します。さあ、皆さんどの部分か分かりますか?
1度目は、数Ⅰの2次関数の最後の最後。「解の配置の問題」と言われる、アレです。
2度目は、数Ⅱの複素数と方程式です。解と係数の関係の部分で登場します。
2つとも分からなかったら、要復習。必ず2つとも出来るようにして下さいね。
 
ということで、この2つがスタンダードな解法だと思うのですが、昨日配られた河合塾の解答解説の冊子には、どちらも載っていませんでした。
まあ、確かに計算は簡単なんですけどね。受験生にとっては復習しづらいのでは?せめて別解で載せておいてほしいと思うのですが。ちょっと不満です。
 
だから、手書きの解答には載せておきました。
河合塾の(僕がスタンダードではないと思う)解法は1番で、
二次関数の解の配置の解法が2番、
解と係数の関係を使う別解が3番、
そして4番には、方程式をグラフの交点だと見る解法を載せてあります。
 
 
4番についてですが、さきほど大切だと言いましたよね。
中学2年生で習う、「関数のグラフのx座標 = 連立方程式の解」
というルールを利用しています。
普通は「グラフの交点を出せ」と言われたら、連立方程式を立てますが、今回は逆に利用しています。
方程式を見た時に、グラフをイメージしています。これが中々出来ないのです。
この法則だけ知ってると、解法の幅が広がりますし、かなり計算が楽になることがあるんですけどね。なかなか使いこなせません。
日ごろから方程式を見たら、必ずグラフをイメージしておくと良いと思います。
 
これも、普通は解と係数の関係では?
では次に(2)の問題に行きましょう。
軌跡の問題です。
軌跡の問題は、満点回答を作るのが難しいですね。特に、範囲が限定されている時。
今回もそのパターンなのですが、(1)でkの範囲が0<k<1と限定されています。
すると、それに伴い、求める軌跡の方程式も、全体を動くとは限らなくなります。
 
と言っても、東大模試に限らず、入試問題や模試の問題ならば、求めた式全体が答えになるような、簡単な問題は出ないと思って良いと思いますがね。
 
具体的な解法としては、「XとYをパラメータで表し、そのパラメータを消去する」しかありません。
求める動点RがPとQの内分点ですから、PとQをパラメータで表すことから始めます。
 
さて、ここでまた河合塾の解法に触れておきましょう。
(1)でも書いた通り、スタンダードな解法が紹介されてません。(が、確かに計算量は減ります。)
だから、(2)もあまりスタンダードな解法で書かれてません。
「なるほど、こういう風にも解けるんだな。勉強になったな。」
と思う分には構いませんが、解けなかった方は先にスタンダードな解法を学んでほしいと思います。
 
スタンダードなのは、解と係数の関係を用いる解法です。
2次関数や3次関数などに別の関数が交わっていて、その交点の中点(や内分点)の軌跡を求める問題は、非常に頻出です。
そして、普通はこういう時に、解と係数の関係を用います。
(これは一応別解として載ってました)
 
交点を求める時には連立する(今日は何度も言ってます)のですが、その連立後に求められた方程式の解が、そのまま交点のx座標になります。
これを解の公式で求めるのではなく、αとかβでおいて計算を進めます。
 
と言っても、あまりイメージが湧かないと思いますので、手元の4STEPで類題を載せておきます。これが、解と係数の関係を使って軌跡を求める、簡単な問題です。
 
では手書きの解説を載せましょう。
河合塾が紹介している(1)の流れを踏襲した解法を1番、
スタンダードな解法の解と係数を使っているものを2番に書きましたので、どうぞ。
 
 
Xの範囲を見つけるのが、少し難しいかもですね。
ちなみに、解と係数の関係を利用する解法では、あえて式をたくさん立てています。
実際はこのうち数本を使えば求められますが、皆さんが方針を立てやすいかなと思い、あえてたくさん立てています。
目的の式が出るならば、どれを立てて、どれを利用しても良いです。
 
 
(3)で学ぶことは、積分の工夫。
では(3)へ。
これは普通の問題ですね。(2)まで解けた方には楽勝でしょう。
 
面積を求めよと言われていますから、グラフの大小を求めます。xy座標で、どっちが上で、どっちが下か調べるということですね。
 
そして、インテグラルの中に、(上の関数)-(下の関数) を書いて、計算を実行すればOK。やることは簡単です。
 
でも、積分計算が多少面倒ですね。
インテグラルだけ立てて、計算を省いて、部分点をもらうのも、良い作戦かもしれません。
 
今回の積分計算に関しては、工夫も出来ます。
数Ⅲを知ってれば、2つは思いつくでしょう。一つは部分積分、一つは置換積分です。
 
数Ⅱの内容しか知らない方は、仕方なく地道にやるのも一つの手段かもしれません。
工夫の仕方も、あの試験時間の緊迫した中、思いつけるほど簡単ではない気がしますので。
 
一応手書きの解答には2種類載せました。
 
あ、接線mの方程式の出し方には触れてないですが、大丈夫ですよね。
グラフの大小を調べるのも、面積を分割する発想も難しくないはずです。ちょっと手間ですが、頑張りましょう。

講評
では、最後に一言。
問題としては典型的な問題なのですが、高得点は難しいかもしれません。
軌跡の範囲の絞り方、積分計算などなど、神経を使う計算が多いからです。
10点取れればまあまあ、15点取れる人はそうそういないでしょう。
 
今回の河合の東大模試、文系数学には全般的に言えるんですが、ちょっと難しかったですね。そこそこ難易度の高い問題ばかりでした。
本番より、少し難しいと思っても良いのでは?という印象。まあこの辺は、色々な意見があるでしょうけど。
 
では、明日は第2問に行きます。お楽しみに。
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