極線って知ってる?

現役生の定期テストシーズンに加え、他にたくさんお仕事を頂きまして、バタバタと忙しくしております。

さて今日は、美しい図形の性質のご紹介です。

数Ⅱの「図形と方程式」の分野に登場する(!?)ことがある「極線」についてです。

 

「え?そんなの知らない。習ったっけ?」

と思った方、別に大丈夫です。教科書には登場しない用語です。

しかし、問題集なんかにチラッとだけ登場します。マニアックな知識と思ってOKです。

しかし、その性質がとても美しくて素晴らしい!

 

では、具体的に見ていきましょう。

極線の性質

まず、原点中心の円を書きます。半径は何でも良いですから、rとしておきましょう。

すると、円の方程式はx^2+y^2=r^2ですね。

 

この円の外側に、点P(a、b)を取ります。

そして、そこから円に接線を引くと、2本の接線が書けますね。この接点をTとT’としておきましょう。

 

すると、なんとTとT’を通る直線の方程式がax+by=r^2になります。

円の方程式に登場する、2つのxのうち1つを点Pのx座標のaに変えて、2つのyのうち1つを点Pのy座標bに変えるだけ

という、シンプルで美しい性質が登場します。

 

↓この画像の、左半分に載っています。

 

極線の美しい性質の証明
この美しい性質、証明が知りたくなりませんか?
これも、上の画像の左半分に載っているので、見ておいてほしいのですが、何やら理屈をこねたような証明です。
本当に接点や接線を求めているわけではありません。
慣れないと、少し分かり辛いかもしれませんね。
 
後半に登場する理屈はこうです。
3×3-2×4=1 と
3×5-2×7=1 は、確かに成り立ってますよね?
この2本の式から、
3x-2y=1という直線が(3、4)と(5、7)を通っている事が読み取れるのが分かるでしょうか?
 
3x-2y=1に(3、4)を代入しても、(5、7)を代入しても成り立ってますから、当然と言えば当然です。
これと同じ理屈を、証明の最後にしています。理解のお助けになれば幸いです。
 
極線を2回引くと・・・
ここまでは、習った事がある方が多いでしょう。
受験生は、上の話で十分かもしれませんが、数学好きな方向けには、ここからが本番。
実は、極線2を2回引くと、もっと凄い性質が見えるのです。
 
先ほどと同じように、円と点Pを取り、極線をひきますよね。
そうしたら、その極線の好きな場所に点Qを取ります。どこでも構いません。
 
点Qを取ったら、始めと同じように接線を2本引いて、接点同士を直線で結んで・・・と点Qに対する極線を引きます。
するとなんと、2回目の極線が、元の点Pを必ず通るのです!!

※先ほどの画像の、右半分に説明と証明が載っています。

 

あらゆる二次曲線で成立する!!

しかも、この性質、円じゃなくても成り立ちます。

二次曲線と呼ばれる、楕円、放物線、双曲線であれば、どんな図形でも成立するのです!

これ、衝撃だと思いませんか?

 

皆さんも、お手元の紙とペンでやってみて下さい。

放物線や双曲線は、やや書きにくいので楕円から書いてみると良いと思います。

本当に、元の点を通ることが確認できるはずです。

 

証明は、画像の右半分のものを、楕円、放物線、双曲線に応用すれば、ほぼ同じ計算で出来ます。不思議ですよね~。

 

こういう美しい図形の性質があるから、数学は面白い!

また、機会があったら紹介します。

 

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