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今日も参りましょう!

理系第3問です!

 

 

複素数、苦手な方が多いと思いますが、このレベルは解きたいところ。少なくとも、半分以上の部分点は取っておきたいところですね。

 

ちなみに、この問題は「反転」と言われる問題です。(z=1/wが目印です。)

原点からある半直線を引いて、その上にPとQの2点を取った時に、OP×OQ=一定となるようにPとQを動かす操作のことですね。

Pが直線を動くとQが円を描いたりして、面白い連動の仕方をします。

 

数学の先生なんかでは有名ですが、新人の先生はあまり知らないかも。

受験生にとっても、教科書で体系だって学ぶことはないので、あまり知らないかもしれませんね。一応、青チャート何かでは触れられてるテーマなんですが。

 

この問題もしかり、入試問題を解くだけならば、知らなくても済むテーマなので、今回は反転の解説はしませんが、そういうテーマがあることだけは触れておきます。

 

さて、問題へのアプローチの仕方ですが、まず(1)はzが垂直二等分線上を動きますね。

原点Oと、点αの垂直二等分線上ということで、|z|=|z-α|と作ればOK。

※垂直二等分線というのは、2点からの距離が等しい点の軌跡でもあります。中1の作図で習いますね。

 

このzに1/wを代入して、基本通りの変形をすれば解けます。教科書の例題にされかねない簡単さです。

 

 

次に(2)ですが、これは少し頭を使います。

まず、βとβ^2ですが、これを求めるところまでは行けますかね?

数Ⅱでは、複素数と方程式に出てきたω(オメガ)の話が通用しますし、数Ⅲならば複素数を使っても求められます。

求め方は、手書きの解答に載せておきましたが、βとβ^2が、縦に並んだ2点になりますね。

 

そして、zがβとβ^2の間を動くとのこと。

要するに(1)と似ている設定になるわけです。(直線を動くという意味で)

具体的には、(1)でα=-1にすると、そのままwの軌跡が求められます。

 

但し、zは直線上全てを動くわけではなく、βとβ^2の間、つまり線分の間しか動きません。

よって、wの軌跡も全体にならないかもしれない!

 

という事で、どの部分が削られるかを調べれば、解答が完成です。

その、削り方が難しいんですが、今回はargを使ってます。不安ならば、実際にzに値を代入してみて、wの場所をチェックしても良いですね。

 

では、手書きの解答をどうぞ

 

 

最後、全体の軌跡から、wが通らない所を除外する所が難しいにしても、部分点は大量に取っておきたい問題です。

 

複素数も頻出ですから、来年の受験生は、要復習です。

 

それでは!

 

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