すっかりお馴染み、東大数学の解説です。

今日で4問目の解説が終わりますね。4問が終わるということは、一年分が終わるということですね。

 

第一回目のこの記事で書きましたが、東大入試は一年分をまとめて分析しないと見えてこないものがあります。

今の受験業界では、一問ずつ解説することはありますが、まとめて解説する機会は極めて少ないと思います。

4問連続で解説するとしても、合格点を取るための作戦を中心に教えてもらうことはない。

 

ということで、僕のブログでは4問解説したあとに、東大数学を解く上での作戦の立て方を解説する特別な記事を書こうと思っています。

時間内に、効率よく、最高の点数を取るために、どのように頭を使えば良いのかを伝授します。これは次回の記事です。楽しみに!!

 

では、まずは第四問の解説、いつも通り行きましょう。

 

一見、数列の問題みたいですが、ほとんど数列の要素はありません。整数の問題です。

 

ちょっと脱線しますが、第二問の記事で、「場合の数・確率」を制することが、東大合格への近道だと書きました。その理由を三つ、

①毎年確実に出題される

②高1で習う(2年以上対策が出来る)

③他分野との絡みが少ない(から対策がしやすい)

と書きましたが、この3つの性質は、「整数」も同時に持っています。

 

東大は昔から整数問題が大好きです。(場合の数・確率も)

僕が現役生だった14年前には、高校の教科書に整数の範囲がなかったにも関わらず、整数分野は出題されてました。

そのため、学校の先生や塾の先生に、整数を教えてもらいながら、何とか対策したものです。

 

そんな思い出話はどうでも良いとして、今も整数は毎年のように出題されています。

上記の、①~③のうち、①と②は整数分野も全く同じです。

 

③に関しても、比較的他分野との絡みが少ないのは、「場合の数・確率」と共通していますが、整数問題の方が、やや難しい問題が出題されやすかったり、他分野と絡みやすかったりします。

また、「場合の数・確率」を先に履修する高校が多いので、私は「場合の数・確率」を優先して対策するように指示しています。

 

とは言え、整数を徹底的に極めるのも、東大数学においては非常に有効であることには違いありません。

なにせ「場合の数・確率」と「整数」を極めてしまえば、それだけでほぼ確実に、東大数学の合格点を取れてしまえます。

 

闇雲に問題集を端から端まで勉強するのではなく、出やすい所を狙って勉強するのは効果的ですから、是非参考にして下さい。

 

 

では、具体的に問題の解説に移りましょう。

 

この問題も、比較的解きやすい部類でしょう。

(3)は、ややこしいかもしれませんが、少なくとも(2)までは満点で切り抜けたいところです。それくらい、東大入試にしては簡単です。

恐らく(2)までで、20点中で10点以上は得点が与えられると思いますので、そこまでは取りましょう。

 

では、手書きの解答を貼り付けてから、一問ずつ解説します。

 

 

まず(1)は、はっきり言って簡単です。簡単すぎます。

問題文の表記は、n乗を使ったり、数列の記号を使ってますが、問われている内容は中学入試レベルです。中学入試の先生に聞いたところ、同じような問題が出題された事があるそうです。

 

しかも答えがあってれば、満点をもらえると書いてますから、これは落としてはいけない。焦っていようが、この問題が解けずに東大に入りたいと言っても、通じません。

 

手書きの解答に書いておきましたが、余りの問題は原則として合同式を使いましょう。今は教科書に合同式が載ってますから、堂々と解答に書いて良いです。

合同式をあまりちゃんと教わらずに東大受験をしようとしている方は、今すぐ先生に聞きに行って下さい。その時間を投資する価値はあります。

 

また、今回は触れてませんが、下1桁を求めるとか、下2桁を求める問題も、合同式を用いると便利な事が多いですよ。下1桁なら、mod10と同じです。

 

 

また(2)は記述する義務がありますが、聞かれていることは(1)と同じです。

いや、むしろ(1)より簡単かもしれないくらいです。

結局、2つしか場合分けがないわけですから、記述の仕方に余程のミスがない限り得点出来ると思います。これも、満点を取って普通のレベルの問題です。

(だって、中学入試レベルですから)

 

そして本丸の(3)ですが、これは頭が混乱しますね。

実際、僕も試験会場で混乱してしまいました。ちょっと冷静に考えれば出来そうなものなんですが、時間勝負をしていると、どうしても本来の力は発揮できませんね。修行が足りません。

 

笑い話として聞いてほしいんですが、僕は東大入試の数学の時間の最後の最後にこの問題を解いていました。

そして、3のn乗が奇数になるのに気づかず、ウンウン悩んで時間が来てしまいました(笑)

3のn乗なんて、3×3×3×3・・・・なんですから、奇数に決まってるのに、なぜかそれに気づかない。

入試には魔物がいますね。まともな精神状態ではないのでしょう。こうしてブログのネタになるんですから、良しとしましょう。

 

さて、この問題、まず明らかに(1)と(2)が誘導になっています。というか、全ての数学の問題は誘導なんですけど、この問題は露骨に誘導です。

 

恐らく、(1)と(2)の答えで出てきて、1か3か7か9のどれかが答えなんだろう、という所までは分かるかしれませんが、ちゃんと記述しようとすると、ちょっと大変かもしれませんね。

 

(X10を10で割ったあまりだから、3のX9乗を10で割ればよくて、てことは、X9を4で割れば良いから・・・)

と考えているうちに、混乱してしまう人も多かったことでしょう。

 

こういう時は、X1から順にX5くらいまで考えて、その形跡を解答欄に残しておくことも一つの手段ですよ。考えた形跡が認められれば、1点でも2点でももらえるかもしれませんが、書かないと絶対に0点です。

 

最短ルートで解答を書くと、手書きの右下の赤い枠の中だけで、満点解答が書けてしまうんですが、いきなりこれを書くのは難しいでしょう。いくつか具体的な数字で試しても良いので糸口を見つけて下さい。

 

東大の合否は、1点で決まりません。

小数点以下第三位くらいまで計算されて合否判定が行われますから、あと0.3点で落ちた受験生も数多くいます。

1点をバカにせず、ドンドン取りに行って下さい。

 

一応ですね、普通の問題集や解説書に書いてあるのよりも、考え方の道筋がわかり易いように、手書きに書いておいたので、読んでみて下さい。多分、分かってもらえるはずです。

 

では、次回は4問並べて、全体像から作戦を解説します!

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