2020/09/18

おはようございます！

5章の最後です！

今まで曲げモーメントに対する曲げ応力だったりをやってきました。

応力も大事ですが、曲げモーメントが加わった時の変位も大事です。

まずはたわみとはなんなのか、図を見てイメージしましょう。

軸線のy方向の変位をたわみと呼んで、

たわみ曲線の接線と元の軸線のなす角度θをたわみ角といいます。上図の左側が、この説明を表しています。

さて、接線部を拡大してみましょう。これが上図の右側になります。

A,B点はdsだけ離れていて、それぞれの接線に垂直な線の交線が曲率中心Oになります。半径をρと置きましょう。

またO点の角度は、

点Aと点Bが軸線となす角の差に一致することがわかると思います。つまりdθですね。

しかしAはBよりたわみが減少するので、ここではマイナスをつけましょう。

よってds = ρ(-dθ)より

dθとdsを求めて代入しましょう。

一つ目の式は、tanθ=(y変位/x変位)から来ています。これの逆関数を求めればθ=〜になります。

三角関数の逆関数の微分はネットで調べればいくらでもでてきます。

tan^-1(x)の微分は1/(1+x^2)です。

2つ目の式は、点A,Bで構成される小さな三角形に注目してもらえればわかると思います。cosの定義ですね。

これらを代入すると

複雑な式や…

ここで条件。

実際の金属とかがたわんでいても、我々の目ではわからない程度なので、θはめちゃくちゃ小さいと仮定しましょう。

すると、(dv/dx)^2がめちゃくちゃ1より小さいので無視しましょう。

曲げ応力の説明のところで、モーメントの釣り合いから下の式が導出されましたね。

これを代入すれば

でました。これがたわみの基礎式といいます。

曲げモーメントがxの関数で与えられる時、この微分方程式を順次積分することにより

たわみ角θ=dv/dx, たわみvが次のように求められます。

積分定数は境界条件により決まります。

固定支持の場合、支持点でたわみvとθ=0なので、

支持点で、v=0, θ=dv/dx=0

となります。

はい！5章終わりました。

この辺の知識は、構造解析で必須ですからしっかり流れを把握しておきましょう、

次回は6章です！では！

5.7 梁のたわみ曲線