[答1859] 正三角形内三角形
１辺が 23 の 正三角形ABCがあって、辺AB上に AP＝1 を満たす点Pをとり、
辺BC上に点Q，辺CA上に点Rを △PQRの周囲の長さが最小になるようにとります。
このとき、△PQRの周囲の長さは １辺が１の正三角形の周囲の長さの何倍？
また、△PQRの面積は １辺が１の正三角形の面積の何倍？
[解答1]
一般化し、AP＝a ，PB＝b とします。
また、BCに関してPと対称な点をM ，ACに関してPと対称な点をN とすれば、
PQ＋QR＋RP＝MQ＋QR＋RN だから、これが最小になるのは、図の赤で示すように、
Q，Rが線分MN上にあるとき PQ＋QR＋RP は最小で、PQ＋QR＋RP＝MN です。
α＝cos60ﾟ＋i･sin60ﾟ とすれば、αの共役複素数は 1/α＝cos60ﾟ－i･sin60ﾟ＝1－α です。
複素数平面上で B(0)，A(23α)，C(23) とおけば、
P(22α)，M(22(1－α))，N(23α＋1) になり、MN上の点の座標は 実数ｔを用いて、
(1－t)･22(1－α)＋t･(23α＋1)＝(22－21t)＋(45t－22)α と表されます。
Qの座標は実数ですので、t＝22/45 、Q(176/15) になり、
Rの座標は 実数ｋを用いて、23α＋k(1－α)＝k＋(23－k)α と表されるので、
k＝22－21t ，23－k＝45t－22 、23＝24t 、t＝23/24 、R(15/8＋169α/8) です。
MN/3＝|(23α＋1)－22(1－α)|/3＝|45α－21|/3＝|15α－7| 、
|15α－7|2＝(15α－7)(15/α－7)＝225－105(α＋1/α)＋49＝225－105＋49＝169 、
MN/3＝|15α－7|＝13 です。
次に、有効線分PQに対応する複素数は、176/15－22α ，
有効線分PRに対応する複素数は、15/8＋169α/8－22α＝15/8－7α/8 だから、
PQ，PR でできる三角形の面積△PQRは、1，αでできる三角形(１辺が１の正三角形)の面積の
|(176/15)(－7/8)－(－22)(15/8)|＝|－176･7＋22･15･15|/(15･8)＝1859/60 倍です。
[解答2]
一般化し、AP＝a ，PB＝b とすれば、正三角形ABCの１辺は a＋b です。
BCに関してAと対称な点をA'，A'Cに関してBと対称な点をB' とし、
ABの延長とB'A'の延長の交点をO とします。
また、BCに関してRと対称な点をR'，A'B'上で A'P'＝AP を満たす点をP' とすれば、
PQ＋QR＋RP＝PQ＋QR'＋R'P' ですので、これが最小になるのは、図の赤で示すように、
QはPP'とBCの、R'はPP'とA'Cの交点とすればよく、この場合、PQ＋QR＋RP＝PP' です。
余弦定理より、
PP'2＝OP2＋OP'2－2OP･OP'cos60ﾟ＝(a＋2b)2＋(2a＋b)2－(a＋2b)(2a＋b)＝3(a2＋ab＋b2) 、
PP'/3＝√{(a2＋ab＋b2)/3} です。
次に、△PBQ∽△POP' より、PB：PO＝BQ：OP' 、BQ＝PB･OP'/PO＝b(2a＋b)/(a＋2b) 、
CQ＝BC－BQ＝a＋b－b(2a＋b)/(a＋2b)＝(a2＋ab＋b2)/(a＋2b) 、
△P'AR'∽△P'OP より、P'A：P'O＝AR'：OP 、AR＝AR'＝P'A･OP/P'O＝a(a＋2b)/(2a＋b) 、
CR＝AC－CQ＝a＋b－a(a＋2b)/(2a＋b)＝(a2＋ab＋b2)/(2a＋b) です。
１辺が１の正三角形の面積をSとすれば、
△PQR/S＝△ABC/S－△APR/S－△BQP/S－△CRQ/S＝AB･AC－AP･AR－BP･BQ－CQ･CR
＝(a＋b)2－a2(a＋2b)/(2a＋b)－b2(2a＋b)/(a＋2b)－(a2＋ab＋b2)2/{(a＋2b)(2a＋b)}
＝{(a＋b)2(a＋2b)(2a＋b)－a2(a＋2b)2－b2(2a＋b)2－(a2＋ab＋b2)2}/{(a＋2b)(2a＋b)}
＝3ab(a2＋ab＋b2)/{(a＋2b)(2a＋b)} です。
本問は a＝1 ，b＝22 の場合ですので、a2＋ab＋b2＝507 ，2a＋b＝24 ，a＋2b＝45 で、
(PQ＋QR＋RP)/3＝√{(a2＋ab＋b2)/3}＝√(507/3)＝√169＝13 であり、
△PQR/S＝3ab(a2＋ab＋b2)/{(a＋2b)(2a＋b)}＝3･1･22･507/(24･45)＝1859/60 です。
[解答3]
一般化し、AP＝a ，PB＝b とします。
また、BCに関してPと対称な点をM ，ACに関してPと対称な点をN とすれば、
PQ＋QR＋RP＝MQ＋QR＋RN だから、これが最小になるのは、図の赤で示すように、
Q，Rが線分MN上にあるとき PQ＋QR＋RP は最小で、PQ＋QR＋RP＝MN です。
PMの中点をK ，PNの中点をL とします。
次に、△APN，△BPM は頂角が120ﾟの二等辺三角形で、等辺は a，b ですので、
PN＝a√3 ，PM＝b√3 であり、四角形PKCLにおいて、∠PKC＝90ﾟ，∠KCL＝60ﾟ，∠CLP＝90ﾟ
より、∠KPL＝120ﾟ 、∠MPN＝120ﾟ 、余弦定理より、
MN2＝PN2＋PM2－2PN･PMcos120ﾟ＝(a√3)2＋(b√3)2＋(a√3)(b√3)＝3(a2＋ab＋b2) 、
MN＝√{3(a2＋ab＋b2)} 、MN/3＝√{(a2＋ab＋b2)/3} です。
次に、ABに関してCと対称な点をOとすれば、
△NAR∽△NOM より、NA：NO＝RN：MN 、RN＝NA･MN/NO＝aMN/(2a＋b) 、
△MQB∽△MNO より、MB：MO＝MQ：MN 、MQ＝MB･MN/MO＝bMN/(a＋2b) 、
△PMN＝(1/2)PN･PMsin120ﾟ＝(1/2)(a√3)(b√3)sin120ﾟ＝(3ab√3)/4 であり、
△PQR＝(RQ/MN)△PMN＝{(MN－RN－MQ)/MN}△PMN＝{(MN－RN－MQ)/MN}(3ab√3)/4 、
１辺が１の正三角形の面積をSとすれば、S＝(√3)/4 だから、
△PQR/S＝3ab(MN－RN－MQ)/MN＝3ab{MN－aMN/(2a＋b)－bMN/(a＋2b)}/MN
＝3ab{1－a/(2a＋b)－b/(a＋2b)}＝3ab(a2＋ab＋b2)/{(a＋2b)(2a＋b)}
＝abMN2/{(a＋2b)(2a＋b)} です。
本問は a＝1 ，b＝22 の場合ですので、MN＝√{3(12＋1･22＋222)}＝√(3･507)＝39 、
MN/3＝13 、△PQR/S＝1･22･(1－1/24－22/45)＝22･392/(24･45)＝1859/60 です。
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