雑事 + 私的な物理テキスト 一般相対性理論 3

謹賀新年、今年もよろしくお願いします。

まず、短い感想を二つ。

一昨日の30日、新横浜駅から岡山行きの"ひかり"自由席に乗ったら、満員電車並みに混んでいた。幸い静岡駅で多くの乗客が下りてなんとか座れたが、やっぱり31日に移動した方がよかったのかもしれない。12月31日は確実に乗り物は空いている。ただそうすると元旦に実家の掃除をすることになって、少々抵抗がある。ま、また年末に考えよう。

なおいつも通り、スマホとタブレットとノートPCは実家に持ち帰った。

やはり年末にTVの歌番組を眺めていて、たまたまCreepy Nutsの曲を耳にした。私は若い頃の1970年代の曲を主に聞く人間で、若い人のセンスにはついていけない。特にヒップホップというのか、その種の曲は理解不能。それでもCreepy Nutsの曲はそのよさが理解できる。含まれる音楽要素自体が優れているのだろう。

今回の雑事は、かなり昔、正月に取り上げた"君が代とSTAR TREK"という題の短い記事の内容を再録しよう。

まず手持ちの文庫本から、古今和歌集の内容のごく一部を抜き出す。

    岩波文庫 古今和歌集   佐伯梅友 校注

      95ページ

              古今和歌集巻第七

              がのうた

                賀歌

           題しらず                              読人しらず

                  ちよ                            いはほ       こけ

      わが君は千世にやちよに  さゞれ石の巌となりて苔のむすまで

国歌"君が代"の君は天皇を意味するが、国歌の元になった古今和歌集のこの歌では、"君"は二人称の意味で天皇に限定していないことが、この歌の脚注にある。

その点では、STAR TREKに出てくるバルカン人が手のひらを前に出し中指と薬指の間を広げて言う挨拶の言葉"Live Long and Prosper"(長寿と繁栄を)と同じ意味を、この古今和歌集の歌は表現している。

なお賀歌とは祝いの歌らしい。

この歌だけだと少し寂しい気もするので、万葉集からも歌を取り上げよう。

    岩波文庫 新訂 新訓 万葉集 上巻   佐佐木信綱 編

      49ページ

              万葉集 巻一

                    がまふ  みかり       ぬかだのおほきみ

           天皇、蒲生野に遊獵しましし時、額田王の作れる歌

                               しめの    のもり              そで

       あかねさす紫野行き標野行き野守は見ずや君が袖振る

           皇太子の答えませる御歌

                                     にく                           われこ

       むらさきのにほえる妹を憎くあらば人づまゆゑに吾戀ひめやも

           紀に曰く、天皇七年丁卯夏五月五日、蒲生野に縦獵したまひき。時に

                                                    ことごと

           大皇弟、諸王、内臣、及び群臣、悉皆に從ひきといへり。

ネットで調べるとこの歌には複雑な背景があるようだ。額田王は兄弟から愛された女性で、この歌に皇太子とあるのは弟の大海人皇子(後の天武天皇)。その兄は天智天皇(中大兄皇子)。額田王は兄の後宮に入る前は、弟が夫で娘もあったとか。漫画"タッチ"の浅倉南と上杉兄弟の三角関係と同じで、遊猟に参加した人々には周知の事実だったはず。この二つの歌はその遊猟の宴で披露されたのは明らかで、その上でウケをねらうとともに、額田王の歌は暗に心残りも匂わせ、強烈なインパクトがあったに違いない。

中大兄皇子は大化の改新の主人公で大海人皇子は壬申の乱の主人公。白村江の戦いから壬申の乱までは、漫画"火の鳥 太陽編"で詳しく取り上げられている。

万葉集から歌をもう一つ紹介しよう。

      167ページ

              万葉集 巻四

                あふみのすめらみこと しの

           額田王、近江天皇を思ひて作れる歌

                                             やど

       君待つとわが戀ひをればわが屋戸のすだれ動かし秋の風吹く

この歌には与謝野晶子の歌にも通じそうな率直な感情が感じられる。なお近江天皇とは天智天皇を指し、朝鮮半島での白村江の戦いに敗れた後、国の防備を固める為、天智天皇が近江に遷都したことでそう呼ばれたらしい。

古今和歌集の"わが君"の歌では人生を小石や巨岩に譬えている。巨岩が割れて小石になることはあっても小石が成長して巨岩になることは造山運動や地質学的変化をへない限りあり得ない。サンゴ礁やストロマトライトのように成長する岩石も例外的に存在するが微生物の作用が必須。"わが君"の歌では小石や巨岩や苔むすといった自然現象を借りることでその表情を豊かにしている。その表現が新古今和歌集ではさらに繊細で洗練されたものに変化していく。

一方、万葉集はそのストレートな感情表現が魅力と言え、それぞれに興味深い。

著作権の問題については掲載内容を原典と思われるものに限ることで回避しようと試みた。その点は私的な物理テキストの主に数式のみの掲載と同じ手法。

なお雑事も書くネタがなくなってきたので、本来の趣旨にもどり、ごく短い雑事や雑事なしの形式に変わってくるだろう。

今回の私的な物理テキストは、一般相対論の3回目です。

前回は"2. 斜交座標"の続きで、斜交座標の2階テンソルを行列として見た場合の行列式の計算までだった。

当然ながら、今回の記事も特殊相対論の平坦な時空を前提としている。

実は今回の内容は、先月12月の弦理論の内容と重複する部分が多くなっている。

まず2階のテンソルg_μνを用いて、反変ベクトルを共変ベクトルに変換することができる。

    A_μ = g_μνA^ν                                          (2.2)

この式でも上と下の添字νで和をとる。このg_μνは行列表示では以下となる。

g_μν=(1  0  0  0) 

         (0 -1  0  0)

         (0  0 -1  0)

         (0  0  0 -1)

前回述べたように、g_μνの行列式をとれば-1なので逆行列が存在して、逆に解くことができる。その結果を以下とする。

    A^ν = g^μνA_μ                                          (2.3)

この式でも添字μで和をとる。

μとνの入れ替えでg_μνが不変だった(g_μν=g_νμ)のと同様に、g^μνもμとνの添字を入れ替えても不変(g^μν=g^νμ)。

次に(2.2)式の中のA^νを(2.3)式で置き換えてみよう。

単純に置き換えると、A_μ=g_μνg^μνA_μとなるが、この式の右辺ではμが3個あって論理的に矛盾する。そこで右辺のA_μのμをρにかえA_ρ、g^μνのμもρにかえg^ρν、さらにρとνの順番を入れ替えg^νρとすると、

    A_μ = g_μνg^νρA_ρ

となる。この式は一般相対論の本にあるが、番号が付けられていない。

この式の右辺ではρとνに関して和をとる。右辺のg_μνg^νρの部分に着目すると、これは2つの2階テンソルg_μν,g^νρで行列としての積につくることに該当する。そしてg_μνの逆行列がg^νρなのだから、積の結果は単位行列Eとなる。

つまり、

    g_μνg^νρ = g^ρ_μ                                     (2.4)

と書くと、g^ρ_μは単位行列Eだから

    g^ρ_μ = { 1 μ＝ρのとき

                  { 0 μ≠ρのとき                                 (2.5)

このg^ρ_μは、弦理論の本のクロネッカーのδと同じもので、ただ単にδがgに替わっただけ。その意味で一般相対論のこの部分は前回の弦理論の本の説明に近い。

(2.4)式を、A_μ=g_μνg^νρA_ρに代入すれば、

    g^ρ_μA_ρ = A_μ

同様に、g^ρ_μとA^μの積とは、

    g^ρ_μA^μ = A^ρ

となり、g^ρ_μはベクトルの添字を入れ替える(ρ⇔μ)場合に使える。

(2.4)式と同様に、

    g^α_ν = g^αμg_μν

でもg^α_νが作成でき、さらにνを上付き添字に変更すると、

    g^αβ = g^νβg^α_ν

となって、添字の変更(ν→α)にもg^α_νが使える。

まとめると、(2.2)式のg_μνと(2.3)式のg^μνは添字の上下の変更に使える。さらに(2.5)式のg^ρ_μは添字の入れ替えや変更に使えるのだ。

これで、"2.斜交座標"の説明が終った。

補足説明として、逆行列の求め方を簡単に説明しよう。

行列Aを以下として、

A=(a b)

    (c d)

その逆行列A^-1は、以下となる。

A^-1=1/det(A)( aの余因子 -bの余因子)^t

                      (-cの余因子  dの余因子)

det(A)はAの行列式、^tは転置行列を意味する。次に余因子だが、

aの余因子とは(a b)のaの行と列を除いた因子で、d。

                   (c d)

bの余因子とは(a b)のbの行と列を除いた因子で、c。

                   (c d)

cの余因子とは(a b)のcの行と列を除いた因子で、b。

                   (c d)

dの余因子とは(a b)のdの行と列を除いた因子で、a。

                   (c d)

逆行列の式で、bの余因子とcの余因子に-1がついているのは、常に行と列の数字の合計値での-1の累乗の数値がかかるから。例えば以下となる。

aは1行1列目なので、aの余因子には(-1)^(1+1)=1がかかる。

bは1行2列目なので、bの余因子には(-1)^(1+2)=-1がかかる。

cは2行1列目なので、cの余因子には(-1)^(2+1)=-1がかかる。

dは2行2列目なので、dの余因子には(-1)^(2+2)=1がかかる。

この1または-1の符号因子は、前回の一般相対論の記事での行列式の余因子展開の式でも、以下のように、

det(A)=|a b|

            |c d|

         =+a|d|

            -c|b|

         =ad-bc

+a,-cの符号として付いていたのだが、説明を省略した。

さて、上記の説明を踏まえて、逆行列の計算に戻り、

A^-1=1/det(A)( aの余因子 -bの余因子)^t

                      (-cの余因子  dの余因子)

    =1/det(A)( d -c)^t

                  (-b  a)

    =1/(ad-bc)( d -b)

                    (-c  a)

とAの逆行列A^-1が求まった。

これが正しくAの逆行列かどうかは、実際に計算してみればわかる。

AA^-1=(a b)1/(ad-bc)( d -b)

            (c d)              (-c  a)

     =1/(ad-bc)(a b)( d -b)

                     (c d)(-c  a)

     =1/(ad-bc)(ad-bc -ab+ab)

                     (cd-cd  ad-bc)

     =1/(ad-bc)(ad-bc        0)

                     (       0 ad-bc)

     =(1 0)

       (0 1)

     =E(単位行列)

逆行列の求め方には、余因子を使う方法以外に、掃き出し法という手法がある。この掃き出しはガウスの消去法とも呼ばれる。

掃き出し法は実際には、行列Aの横に単位行列を置いて計算する。

(a b 1 0)  … ①

(c d 0 1)

この形から以下のように変更する。

(1 0 ? ?)

(0 1 ? ?)

つまり(a b)の部分を(1 0)に変える。

         (c d)            (0 1)

その為に、まず上式の1行目①をaで割る。なおa≠0と想定している。

(1 b/a 1/a 0)  … ①

(c    d     0 1)  … ②

1行目①にcをかけ②から引く、つまり②-c①→②

(  1    b/a  1/a   0)

(c-c d-bc/a -c/a   1)

 =(1         b/a  1/a 0)

   (0 (ad-bc)/a -c/a 1)  … ②

2行目②を(ad-bc)/aで割る。ad-bc≠0と想定。勿論、ad-bc=det(A)。

(1 b/a           1/a             0)

(0    1 -c/(ad-bc) a/(ad-bc))

 =(1 b/a          1/a              0)  … ①

   (0    1 -c/(ad-bc)  a/(ad-bc))  … ②

2行目②にb/aをかけ①から引く、つまり①-b②/a→①

(1 b/a-b/a 1/a+bc/a(ad-bc) -b/(ad-bc))

(0          1           -c/(ad-bc)  a/(ad-bc))

 =(1 0 ((ad-bc)+bc)/a(ad-bc) -b/(ad-bc))

   (0 1                   -c/(ad-bc)  a/(ad-bc))

 =(1 0  d/(ad-bc) -b/(ad-bc))

   (0 1 -c/(ad-bc)   a/(ad-bc))

これで(1 0 ? ?)の右側に現れる(? ?)の逆行列A^-1=1/(ad-bc)( d -b)が求まった。

         (0 1 ? ?)                    (? ?)                                    (-c  a)

上記の手続きが掃き出し法で、行列本来の意味である鶴亀算を行うことに該当する。

逆行列を求める手順については、2行2列の行列Aの逆行列は比較的簡単に求まるが、以下の3行3列の行列Bの逆行列の求め方は複雑になって、

B=(a b c)

    (d e f)

    (g h i)

説明しにくいので説明は省略する。ただ具体的な数値で構成された行列は、行列の次元数に関係なく、掃き出し法で少しずつ計算すれば求まる。

なおg_μνの逆行列は掃き出し法により簡単に求まるので、実際に求めてみよう。

g_μν=(1  0  0  0)

         (0 -1  0  0)

         (0  0 -1  0)

         (0  0  0 -1)

(1  0  0  0 1 0 0 0)

(0 -1  0  0 0 1 0 0)  … ②

(0  0 -1  0 0 0 1 0)  … ③

(0  0  0 -1 0 0 0 1)  … ④

②,③,④の各行に-1をかけると、

(1 0 0 0 1  0  0  0)

(0 1 0 0 0 -1  0  0)

(0 0 1 0 0  0 -1  0)

(0 0 0 1 0  0  0 -1)

となって、逆行列g^μνが以下のように求まる。

g^μν=(1  0  0  0)

          (0 -1  0  0)

          (0  0 -1  0)

          (0  0  0 -1)

つまりg_μνの逆行列g^μνは、もとのg_μνに等しい。

g_μν=g^μν

これは直接g_μνとg^μν(計算の都合上g^νρとする)の積をつくれば確認できる。

g_μνg^νρ

 =(1  0  0  0)(1  0  0  0)

   (0 -1  0  0)(0 -1  0  0)

   (0  0 -1  0)(0  0 -1  0)

   (0  0  0 -1)(0  0  0 -1)

 =(1 0 0 0)

   (0 1 0 0)

   (0 0 1 0)

   (0 0 0 1)

 =E

 =g_μ^ρ

 =g^ρ_μ

だから実際に計算するまでもなく、g_μνの逆行列g^μνはすぐ求まる。勿論、この結果は(2.5)式に等しい。

以上で一般相対論の本の"2. 斜交座標"の章が終わった。今回はここまで。

注意: (2.2)のように番号が付いている数式は以下の書籍からの引用です。

一般相対性理論 P.A.M.ディラック著 江沢洋訳 東京図書 1995年5月20日新装第6刷

それ以外の数式と説明は私が作成したものなので、ミスや間違いが含まれる可能性があります。