不整脈(心室期外収縮)の件。
前回のマグネシウムやコエンザイムも含め、
ニンニクは食材として市販されている乾燥したスライスニンニクを
生のニンニクは私には刺激が強すぎるのだろう。同様に、
10月下旬に心電図をとって以来、
スマホのRPG"メビウスFF"
メビウスFFを含めてゲームも一種のストレスと考えると、
結局、私の場合は、
さて、今回は前回の続きで、相対性理論の本によると、(7.
(-dΨ^2 + dξ^2) / (4 cos^2 1/2(Ψ + ξ) cos^2 1/2(Ψ + ξ))
と両方とも cos^2 1/2(Ψ + ξ) で、1/2(Ψ + ξ)しかなく1/2(Ψ - ξ)がない。
何かおかしい。何処かで計算を間違ったかな？
という所で、前回は終わった。
何が問題かを探るため、別の手持ちの本を取り出した。
岩波講座 現代の物理学 6巻目の一般相対性理論で索引からペンローズ図を探すと、その75ページに以下の数式があった。
ds^2 = -dt^2 + dr^2 + r^2(dΩ_n-2)^2 … (3.31)
2t = tan(η+χ)/2 + tan(η-χ)/2 … (3.32)
2r = tan(η+χ)/2 - tan(η-χ)/2 … (3.33)
ds^2 = 1/4 sec^2(η+χ)/2 sec^2(η-χ)/2 ds^2_SE … (3.34)
ds^2_SE = -dη^2 + dχ^2 + sin^2χ(dΩ_n-2)^2 … (3.35)
この本では、Ψ→η、ξ→χとなっていて、dΩ_n-2やds^
相対性理論の本で(7.27)式の最初の項の分母に1/2(Ψ - ξ)がないのは、おそらくこの本の著者による執筆時の入力ミスだろう。
まあ、どんな専門書にもミスはつきもの。
なお相対性理論の本ではrをΨとξに変換しているので、(7.
そこで、(3.35)式のsin^2χを確認しよう。
(3.33)式より、
r^2 = 1/4 {tan^2(η+χ)/2 - 2 tan(η+χ)/2 tan(η-χ)/2 + tan^2(η-χ)/2}
= 1/4 {sin^2(η+χ)/2 / cos^2(η+χ)/2
- 2 (sin(η+χ)/2 sin(η-χ)/2) / (cos(η+χ)/2 cos(η-χ)/2)
+ sin^2(η-χ)/2 / cos^2(η-χ)/2}
= 1/4 sec^2(η+χ)/2 sec^2(η-χ)/2 x
{sin^2(η+χ)/2 cos^2(η-χ)/2
- 2 sin(η+χ)/2 sin(η-χ)/2 cos(η+χ)/2 cos(η-χ)/2
+ sin^2(η-χ)/2 cos^2(η+χ)/2} … ⑦
⑦式の最後の{}の中を計算するため、a = η/2、b = χ/2と置いて、
三角関数の加法定理より、
sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b
sin(-a) = - sin a、cos(-a) = cos aを考慮して、勿論、a-b = a+(-b)
sin(a-b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b
sin2a = sin(a+a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a これより
sin a cos a = 1/2 sin2a
sin(a+b)cos(a-b) = sin a cos a cos^2b + sin^2a sin b cos b +
cos^2a sin b cos b + sin^2b sin a cos a
= sin a cos a (sin^2b + cos^2b) +
sin b cos b (sin^2a + cos^2a)
= sin a cos a + sin b cos b
= 1/2 (sin2a + sin2b)
sin(a-b)cos(a+b) = sin a cos a cos^2b - sin^2a sin b cos b -
cos^2a sin b cos b + sin^2b sin a cos a
= sin a cos a (sin^2b + cos^2b) -
sin b cos b (sin^2a + cos^2a)
= sin a cos a - sin b cos b
= 1/2 (sin2a - sin2b)
⑦式の最後の{}
= sin^2(a+b)cos^2(a-b) - 2 sin(a+b)cos(a-b) sin(a-b)cos(a+b) +
sin^2(a-b)cos^2(a+b)
= 1/4(sin2a + sin2b)^2 - 2 x 1/4 (sin2a + sin2b)(sin2a - sin2b) +
1/4(sin2a - sin2b)^2
= 1/4((sin2a)^2 + 2(sin2a)(sin2b) + (sin2b)^2 - 2(sin2a)^2 + 2(sin2b)^2) +
(sin2a)^2 - 2(sin2a)(sin2b) + (sin2b)^2)
= 1/4 x 4(sin2b)^2
= (sin2b)^2
= sin^2χ
∴r^2 = 1/4 sec^2(η+χ)/2 sec^2(η-χ)/2 sin^2χ
これで、(3.35)式のsin^2χが確認できた。
以上により、(7.27)
ds^2 = (-dΨ^2 + dξ^2 + sin^2ξ(dθ^2 + sin^2θdφ^2)) /
(4 cos^2 1/2(Ψ + ξ) cos^2 1/2(Ψ - ξ))
または、
ds^2 = 1/4 sec^2 1/2(Ψ + ξ) sec^2 1/2(Ψ - ξ) x
(-dΨ^2 + dξ^2 + sin^2ξ(dθ^2 + sin^2θdφ^2))
なかなか美しい数式！
ただ相対性理論の本では、
さてこの相対性理論の本に従って、ct-rの光円錐の図とΨ-
ct 光円錐 Ψ ペンローズ図
| * |
| * π+I^+
| * | *
| * | * J^+
| * | *
| * ⇒ | * I^0
+-----------r 変数変換 (共形変換) +---------+--ξ
| * ct + r = tan 1/2(Ψ + ξ) | * π
| * ct - r = tan 1/2(Ψ - ξ) | *
| * | * J^-
| * | *
| * -π+I^-
| * |
光円錐
I^+ : r有限でct→+∞
I^- : r有限でct→-∞
I^0 : ct有限でr→+∞
J^+ : r→+∞、ct→+∞、ct-r有限でct+r→+∞
J^- : r→+∞、ct→-∞、ct+r有限でct-r→-∞
I^+、I^0、J^+等の^は上付き添え字を意味し、J^+
光円錐の図ではct→+∞、ct→-∞、r→+∞
ただ光円錐(球座標)→ペンローズ図だけでなく、光円錐(
さて上記の変数変換による式(7.27)
<< 導出例2 >>
①の微分、cdt + dr = (1/2 (dΨ + dξ)) / cos^2 1/2(Ψ + ξ) … ⑧
②の微分、cdt - dr = (1/2 (dΨ - dξ)) / cos^2 1/2(Ψ - ξ) … ⑨
-c^2dt^2 + dr^2
= -1 x ⑧の左辺 x ⑨の左辺
= -1 x ⑧の右辺 x ⑨の右辺
= -1 x 1/4 (dΨ^2 - dξ^2) / (cos^2 1/2(Ψ + ξ) cos^2 1/2(Ψ - ξ))
= (-dΨ^2 + dξ^2) / (4 cos^2 1/2(Ψ + ξ) cos^2 1/2(Ψ - ξ))
"Trivial!"と言えるほど簡単明瞭な導出方法だ。
今更ではあるが、この導出法を最初に思いつかなかったところに、
なお今回のこれらの数式の導出と確認には、
大学で学んだ数学の例として、
∞
ガウス積分 I = ∫exp(-ax^2)dx = (π/a)^1/2 = √(π/a)
-∞
aは正の定数で、expは指数関数を意味する、積分範囲は-∞≦
ルートπ/a、π/aが√の中に入るという意味で()
Iを計算するには、Iの2乗(I^2)を考えて、
∞ ∞
I^2 = ∫exp(-ax^2)dx ∫exp(-ay^2)dy
-∞ -∞
∞ ∞
= ∫∫ exp(-ax^2 - ay^2)dxdy
-∞ -∞
∞ ∞
= ∫∫ exp(-a(x^2 + y^2))dxdy
-∞ -∞
次にx = rcosθ、y = rsinθと変数変換するとヤコビアンdet(J)は、
|∂x/∂r ∂x/∂θ| = |cosθ -rsinθ| = rcos^2θ + rsin^2θ = r
|∂y/∂r ∂y/∂θ| |sinθ rcosθ|
∂は偏微分で∂x/∂rはθを一定としてxをrで微分するから、
2次元の行列式：|a b| = ad - bc
|c d|
Jはヤコビ行列を、detは行列式を意味する。
ヤコビアンとは、大雑把に言って、以下のようなもの。
1変数の積分のx→tの変数変換(いわゆる置換積分)では、
∫…dx → ∫…dx/dt dt
この1変数の積分の変数変換からの類推に従うと、
∫∫…dxdy → ∫∫…(dxdy)/(drdθ) drdθ
とする必要があり、上記の(dxdy)/(drdθ)
(dxdy)/(drdθ) → ∂(x,y)/∂(r,θ) = |∂x/∂r ∂x/∂θ|
|∂y/∂r ∂y/∂θ|
実際、積分の単位となる微小面積を考えると、
図を書く方法-極座標(円座標)：
https://eman-physics.net/math/
なお積分の順序の交換については、
上記の大雑把な説明で感覚的には納得できると思うが、
I^2は変数変換で 0≦r≦+∞、0≦θ≦2π の積分範囲に変わり、
2π ∞ |cosθ -rsinθ|
I^2 = ∫ ∫ exp(-a(r^2cos^2θ + r^2sin^2θ)) |sinθ rcosθ| drdθ
0 0
2π ∞
= ∫ ∫ exp(-ar^2) r drdθ
0 0
2π 2π θ=2π
先にθの積分を実行。∫dθ = ∫1dθ = [θ] = (2π - 0) = 2π
0 0 θ=0
rに関する積分はexp(-ar^2)の中の-ar^
∞
I^2 = 2π∫ exp(-ar^2)rdr
0
r=∞
= 2π [exp(-ar^2)/(-2a)]
r=0
r=∞
= -π/a [exp(-ar^2)]
r=0
= -π/a (exp(-∞) - exp(0))
= -π/a (1/exp(∞) - 1)
= -π/a (1/∞ - 1)
= -π/a (0 - 1)
= π/a
∴I = (π/a)^1/2 = √(π/a)
ガウス積分の計算は多変数の積分になって偏微分を含むヤコビアン
勿論、
実際、理学部、
勿論、
大学に合格したら勉強は終わりとせずに入学後も続ける。
私は、物理学専攻の学生だった頃、
蛇足になるが、
生きるということは、結局、日々の累積にすぎないのだろう。