さて、東大模試に向けて目下勉強中の私ですが
ここで、東大理系数学頻出分野で、
かつパターン化しやすい
回転体
の積分について見ていきたいと思います(*^^*ゞ
①バームクーヘン型積分
これは、受験生なら知っておきたい公式の１つです
使っていいとか、使ったらマズいとかいう議論はありますが、
使うと減点されるかも、といって、使わないで白紙、とかは悲しいですからね…
バームクーヘンを使うと、ｙ軸回転(及び直線ｘ=ｐでの回転)が、ホントに楽になります♪
(図１)一応、私は解答欄に証明書いてから使うようにしてます(^^ゞ
予備校の出方を見て、東大入試当日では考えたいと思います
証明は青チャート数学Ⅲ(数研出版)の写メです
(図２)≒を使うのが嫌な方はこちらでいかがでしょう？
証明は Focus Gold 数学Ⅲ(啓林館)の写メです
(図３)②傘型積分
これは、回転を使って解く方多いのではないでしょうか？
実は、これも一般化できてしまいます
このタイプは、あまり模試では見かけないですが(難しいから)
出てくれば、これの証明を書いて、予備校の出方を見たいです
証明は青チャート数学Ⅲ(数研出版)の写メです
(図４)①バームクーヘンと②傘型で、一応、全ての回転体の体積は出ます
(傾きが定義できるときは②傘型で、
傾きが定義できないときは①バームクーヘンで)
ただ、回転体には、少し厄介なことが…
一般の回転体だと
(図５)みたいなことになるかも、です(写メは Focus Gold です)
(すみません、考察不足です
誰か何かございましたら、コメントにてお願いします…
↑とりあえず、コメントの規制外しておきます)
③パップス・ギュルダンの定理
いよいよ禁断の“アレ”です
青チャートはじめ、様々な参考書が、検算用、と、使用上の注意を書いているのは
この証明が大学範囲の数学がいるからです
…じゃあ、大学範囲の数学で証明してやるですよ!!
「それは高校生のすべきことじゃない」と言われそうですが
数学は、そもそも大昔から脈々と続く学問体系の１つ、
そもそも受験数学など存在しないと思うのです
よって、正しく運用、証明できれば、使っていいのではないか？
と私は思ってみるのです
そして、この「ありがたい」定理は、
確かに「有り難く」、使用してお得な場合はあまり多くはないですが
その分「ありがたく」、難問を瞬殺できますヾ(=^▽^=)ノ
唯一の問題は、証明法が分からないこと
とりあえず、学校の数学の先生に確認をとった、ネット上のガクセイトの証明を写メしますが
(図６)(青チャートに合わせて、∫の外では、ｄｘ→Δｘ、ｄｙ→Δｙにしています)
詳しいこと分かる方、いらっしゃいましたら、コメントにてお願いいたします
ちなみに、以前の東大模試で、この証明を解答欄に書いて、実際に使ってみました(笑)
長々と書いてきましたが
とりあえず、これら
回転体スローネ
アイン・ツヴァイ・ドライ
とも言うべき(笑)
回転体破壊公式(回転体バスターズ)!!を終わります
また後ほど、ぽちっと欄作っときますので、もしよろしければ、ぽちっと、お願いします
追伸
このサイトも参考になさってください
分かりやすかったです！！
http://mathtrain.jp/mentaiseki