きまぐれ数学「場合の数」14 | ユークリッド空間の音
2011-01-16 00:01:00

きまぐれ数学「場合の数」14

テーマ:数学・物理学

【3人の男性A、B、Cと

 3人の女性X、Y、Zが

 男女交互に一列に並ぶ。

 このときのパターン数はいくらか】


「男女が並ぶということは

 今度もコンパらしいのね」


コンパだったのかよ……。


「リドルは誘ってもらえないのね」


まだそんな歳じゃないし。


「それはさておきこの問題は

 どう手をつければいいかしら」


前回は

『A、Bが必ず並び合う』という条件で解くために

AとBをまとめて1人として扱ったんだよな。

今回もそれが使えそうだ。


「お手並み拝見なのね」


男女が交互、ってことは

男女のペアが3つ並ぶ、ってことと

同じになる。

だから前もってペアを3つ作っておいて

それを並び替えればいいんじゃないかな。


「おう、まともな答えにユウはびっくりなのよ」


やかましい。


「つまりこういうことなのね。

 たとえば男性と女性のペアを


 (AX) (BY) (CZ)


 と固定する。

 これを並べ替えたものは

 男女交互になっているので

 それを数えていく」


そうそう。

6人を2人ずつのペアに分けると

ペアは合計3組。

この3組の順列を考えると

『区別できる3つのものから

 3つを選んで並び変える』っていう順列だから


 3P3=3!=3×2×1=6通り


という具合だ。

……。

うーん……。


「あらどうしたの。

 何か不都合?」


不都合。

こんなに少ないはずはないんだけど。


「不都合になるには理由があるのね。

 このやり方ではカップルの相手が

 決まっていたのね」


あ、そうか。

Aの相手はXだけじゃなくて

YやZの場合もあるんだ。


「そう。

 てことはその組み合わせの数を求めれば

 ゴールに近づけるのね」


男性A、B、Cと女性X、Y、Zのペアの数か。

うん、これも順列が使える。

男性のA、B、Cの隣に

女性のX、Y、Zを並べることを考えると

『区別できる3人の中から

 3人を選んで並び替える』パターンだから

やっぱり順列になるんだ。


 3P3=3!=3×2×1=6通り


これが男女の組み合わせの数だ。


「ここまで来ればゴールが見えるのね。

 男女のペアの作り方が6通り。

 そのそれぞれのパターンに対して

 カップルを一列に並べるパターンが6通り。

 つまり


 6×6=36通り


 ここまで出たのね」


これで仕上がりかな。


「残念。今回はまだ続きがあるの」


本当かー?

数え漏らしはないはずだそ。


「『男女が交互に並ぶ』というと

 男女男……の順番もあるし

 女男女……の順番もあるの」


そ……うか。

男性が先頭の場合と

女性が先頭の場合を

別々に数えなきゃいけないのか。


「男性が先頭の場合は

 いま計算した36通り。

 てことは女性が先頭の場合も

 同じ計算で36通りと出るはずなのね。

 だから最終的な答えは


 36×2=72通り


 となるのね」


今度こそ終わりだろ。


「今度こそ終わりなのね」


今回は完璧だったな。


「男女の順番……」


ボソッっと言うなよ!

そこを除けば完璧だったな。


「コンパしたことない……」


関係ない!


「コンパをしたことのないリドルに

 いいことを教えてあげるの。

 男性は男性、女性は女性で

 前もって作戦を練ることができるのね」


そうですか……。


「ということでこの問題は

 男性は男性、女性は女性で

 場合の数をカウントする方法もあるの。

 それを考えていくのね」


なんか相当な無茶ブリだな。



(続く)

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