KENの構成④

テーマ:

前回は、異なるノード配置の12KENがあっても、
ケスエーテルの変換することにより、
同じ12KENとして考えることができますよ~
って感じでした。
まずは、何で変換ができれば、同じ12KENと見れるのか?
ということについて、考えましょう。

そもそも変換するということは、
異なる対象が存在するというのが前提であって、
両方とも同じなら、変換する意味がないですよね。
ではなぜ、変換ができる=同じ12KEN
となるのでしょうか?
その答えは、幾何学でお馴染みの、"合同"にあります。
そんなわけで、早速見ていきましょう。

合同と言えば、やはり三角形の合同ですよね。
合同というのは、ぴったり重なりあう図形のことで、
二つの三角形が合同であるための条件は、
①三つの辺がそれぞれ等しい
②二辺とその間の角がそれぞれ等しい
③一辺とその両端の角がそれぞれ等しい
の3つあります。


では、これらの条件を確かめるために、
どうやって調べていたか憶えていますか?
定規や分度器を使って、長さや角度を測って確かめた!
なんてことはダメですよ~って教わったはずです。
ではどうやって調べていたかというと、
傾いていたら回転させたり、
離れていたら、辺が重なるように移動させたりして、
上手いこと図形が重なるようにしますよね。


数学では、それらの操作のことを、変換と呼びます。
回転はそのまま回転でよくて、三角形を移動させる変換を、
平行移動というように呼びます。
ここで大事なのは、回転と平行移動によって、
三角形が持つ情報は、崩れないということです。
どういうことかというと、
回転したらある一辺が長くなってしまったとか、
平行移動したらある角が2倍になってしまった、
などということは、起きえないということです。
従って、合同な三角形を、変換という言葉を用いて言い換えると、
「回転や平行移動の変換によって、移りあう三角形の事」
と言えるでしょう。
そうすると、それぞれの三角形を個別に調べなくても、
どのような変換があるか?ということ、
つまり変換の性質を調べていくことにより、
図形同士の関係性がわかることになります。
なので、ケスエーテルの変換を考えてきたというわけです。

ではでは、ケスエーテルの変換で崩れない情報ってなんでしょうか?
前回の取り決めで考えたbket(E)から、bket(F)への変換を思い出すと、
bekt(F)=bket(E)+[1]
でしたよね。この変換によって、bket(F)のノードのどれかが、
もともとのbket(F)のノードと一つ変わってしまった!
なんてことは、起きてないですよね。
つまり、剰余類を足すという変換をしても、
ケスエーテルの情報は崩れないということです。
従って、ノード配置の異なる2つの12KENがあった時、
片方の12KENにケスエーテルの変換を施せば、
もう一方の12KENとぴったり重ねることができることになります。
これはまさしく、三角形の合同と同じですよね。
以上を端的にまとめると、
「ケスエーテルの変換で移りあう12KENは合同な12KENである」
ということが言えます。
ですから、一見して異なる12KENだとしても、
実際は同じものとして考えてもいいというわけです。


さて、ノードの配置が違っても、
同じ12KENだということが分かったわけですが、
頂点の配置が異なる場合はどうなんでしょうか?
ずっとクロマティックスケールで頂点を考えてきましたが、
五度圏で頂点を配置したら、合同ではなくなるのでしょうか?
答えは、「合同」です。
ノードの配置だけではなく、頂点の配置が違っても、
BKETに従う以上、全て合同な12KENとなります。

各頂点のノードを見ると、同じノードとなっていることがわかりますよね。

 

そうなると、合同でない12KENはあるの?
って思いますよね。
もし合同でない12KENが存在するとすれば、
BKET自体が違うということになります。
つまり、ノード配置のルールが異なるということであり、
合同でない12KENの存在は、他のBKETの存在を示唆しています。
ですが、BKETについて考えていくのは、今後の課題としておいて、
とりあえず、どのような配置を取ったとしても、
ルールを破らない限り、同じ12KENだという保証を得た!
ということで、先に進むことにしましょう。
今回はこの辺にして、次回に続きます~