メタメタの日

パンセ


テーマ:

 かけ算の交換法則の理解と誤解

   (1)算数の常識は社会の非常識

   (2)「社会の常識」(乙)は数学的に証明できるのか。(今回)

(2)「社会の常識」(乙)は数学的に証明できるのか。

 かけ算の式の交換法則をめぐる「算数の常識」と「社会の常識」の対立について,数学ではどういうことになるのか。

 定義と公理で構築される現代数学で,数論のスタンダードの体系は,ペアノの公理系でしょう。ペアノの公理系を,遠山啓『代数的構造』(新版1996年,日本評論社)は次のように説明しています。(109頁以下)

「 和 Nの任意の2要素x,yに対して,

(1)  x+をx+1と定義する。

(2)  (x+y)+ をx+y+ と定める。 」

 

  x+ は,xの後続者(後者ともいう)とあります。「+」は右肩添字で,加法の「+」とは大きさ,位置が違いますが,ワープロでは分かりにくいが,原文を尊重してママです。

 遠山は,和の結合法則,交換法則を証明した後で,積に入ります。

 

「積 x・y(xyとも書く)をつぎのように定義する。

 x・1=x,

x・y+=xy+x. 」 

 

 定義より,3・1=3であって,3・1=1+1+1ではない。また,2・1=2,2・2=2・1+=2(1+1)=2・1+2=2+2,2・3=2・2+=2(2+1)=2・2+2=2+2+2,したがって,2・3は,2の3倍で,2倍の3ではない。つまり,x・1はxの1倍であって,1のx倍(x倍の1)ではなく,x・yは,xのy倍であって,x倍のyではない。積は「被乗数×乗数」の順で定義されています。

 そして,分配法則(x+y)z=xz+yzを証明した後,交換法則を次のように証明しています。

 

「交換法則:xy=yx.」

 

 xy=yxは,定義より,「xのy倍=yのx倍」であり,これを数学的帰納法で証明しようというのです。

 

「まず y=1 に対してx・1=1・x を証明しよう。

x=1のときは 1・1=1・1 で正しい。

xに対して正しいとすれば,x+ については,

1・x+=1・x+1=x・1+1=x+1=x+=x+・1 

したがって,すべてのxに対して1・x=x・1が成立する。」

 

 つまり,「1のx倍=xの1倍」が証明されたわけです。

 次に,

 

「 yに対してx・y=y・xが成り立つと仮定しよう。

 y+x=(y+1)x    (分配法則によって)

=y・x+x=x・y+x=xy+

したがって,すべてのyに対して成り立つ。 」

 

 つまり,xy(xのy倍)=yx(yのx倍)が証明された。

 この証明のどの段階でも,積については,定義(被乗数×乗数),つまり,xyはxのy倍であることしか使っていません。

 続いて,結合法則:(xy)z=x(yz) を証明しています。

 

 以上です。

 

 私は,xy=yx を「xのy倍=y倍のx」と解することができるのは,「xyは,xのy倍,または,x倍のyを表す」という定義(約束)があるからだと思っていて,社会ではこういう約束があるのだから,小学校でもきちんと教えるべきだと思っていたのです。

 ところが今回,ねまきねこさんのコメントに触発されて,「xyは,xのy倍」の定義から出発しても,和の交換法則,結合法則,積の交換法則,結合法則,そして分配法則を使えば,「xyは,x倍のy」を証明できるのではないかと気が付いたのです。

 もちろん,3×4=3+3+3+3=12,4×3=4+4+4=12,したがって,3×4=12=4+4+4ですから,積の値を経由すれば,被乗数×乗数=乗数×被乗数は「証明」できますが,積の値を経由せず(もちろん,途中で,証明したいこと「被乗数×乗数=乗数×被乗数」を使わず),xのy倍として定義されたxyをyのx倍と解すること(被乗数×乗数=乗数×被乗数)が証明できるのではないかということです。

 

 ただ,もしも,この証明に瑕疵があって失敗していたら,「xyは,xのy倍,あるいは,yのx倍を表す」あるいは「被乗数×乗数=乗数×被乗数」という定義を追加すればよい,というより追加して,社会で使われているかけ算を「数学的にも」正当化すべきだと思っています。 

 保険を掛けた言い訳はこのぐらいにして,証明は以下です。

 

(x+1)(y+1)=(x+1)y+(x+1)1=(x+1)+(x+1)+・・・+(x+1)

これは,被乗数(x+1)×乗数(y+1)を表している。

また,

(x+1)(y+1)=x(y+1)+1(y+1)=(y+1)x+(y+1)1=(y+1)+(y+1)+・・・+(y+1)

 これは,乗数(x+1)×被乗数(y+1) を表している。

したがって,被乗数×乗数=乗数×被乗数。Q.E.D.

 

 この証明を考えてから思い出したのですが,確か昔mixiでSparrowhawk氏が,こういう変形をしていました。

    3×4=3×(1+1+1+1)=3+3+3+3,

      3×4=(1+1+1)×4=4+4+4,

前者が,被乗数×乗数,後者が,乗数×被乗数ですね。

 したがって,かけ算の式は,「被乗数×乗数」にも,「乗数×被乗数」にも解釈可能だから,

    3×4=4×3

は,被乗数×乗数=乗数×被乗数 を表していると解することもできる。

 

 以上のように考えたわけですが,被乗数,乗数も,いわゆる不名数(抽象数)でした。

 2g+2g+2g=2g×3 のような単位(助数詞)の付いた名数(具体数)について,2g×3=3×2g,4㎞/h×3h=3h×4㎞/h という「交換法則」を「数学」でどう考えるのかまでは踏み込んでいません。

 数学では,交換法則は不名数についての法則という理解が戦前からあります。しかも,乗数は不名数でなければならなかった。そのため,乗数×被乗数の順序を認めなかった戦前では,蛸の足の式「2×8本」はありえなかったのです。

AD
いいね!した人  |  コメント(5)  |  リブログ(0)

メタメタさんの読者になろう

ブログの更新情報が受け取れて、アクセスが簡単になります

AD

ブログをはじめる

たくさんの芸能人・有名人が
書いているAmebaブログを
無料で簡単にはじめることができます。

公式トップブロガーへ応募

多くの方にご紹介したいブログを
執筆する方を「公式トップブロガー」
として認定しております。

芸能人・有名人ブログを開設

Amebaブログでは、芸能人・有名人ブログを
ご希望される著名人の方/事務所様を
随時募集しております。