「比」と「比例」は、似ているようで、本質的に違うものだということに、ようやく気が付いた。
比と比例は、小学校の教科書では連続して扱われるが、その順番は、比が先で比例が後である。
私は、塾で小学生に教えていたとき、先に比例を教えてから、後で比を教える方が自然ではないかと思った。比が成り立つ、つまり比例式が書けるということを確認するためにも、比例を先に教えておくべきではないか。二つの量が比例するときに、比例式が書ける、つまり比が成り立つのだ、と。
しかし、文部科学省の指導要領も、それに倣った学校の教科書も塾の問題集も、比が先で比例が後になっていた。それは、戦前からそうであり、遠山啓氏や数教協は、５０年以上前から、この順番を批判してきている。私が、２０年以上前に数教協に惹かれた最初の理由は、このことだった。
それから２０年以上経つが、相変わらず、学校の教科書は、比が先で比例が後であるのが気にかかっていた。これで良しとし、この方が自然だと思う感覚は、いったい何なんだろうとずっと不思議だったが、最近、ようやく分かってきた。
つまり、比は、数（自然数）の対応、つまり、数の関係だが、比例は連続量の関係なのだ。だから、算数で量の考えをとらない（意識的にとらないのではなく、無意識的にそういう問題意識がない）人にとっては、数の対応関係の「比」が第一次的なものであり、関数の考えの萌芽である「比例」は、第二次的なものになるのだろう。
「自然数の対応関係」と「連続量の対応関係」とでは、どこが違うかというと、ゼロのときを考えるかどうかだ。２：４＝３：６という比では、０：０は考えない。ｙ＝２χという比例では、０＝２×０の場合は考える、というか、きちんと確認する。
江戸時代には関数（比例）や連続量の考えがなかったが、その理由の一つに、ゼロの概念が未成熟だったことが挙げられる。
江戸時代には、比例はなかったが、比はあった。
江戸時代にあった比はどんなものかというと、布○尺が銀□匁のとき、布●尺は銀何匁になるか、というような比例式になる問題である。もちろん、比例式という式表現はないし、「比」や「比例」という言葉もない。
この問題の解き方は、何＝□×●÷○と計算しています。○：□＝●：何という比例式で、内項の積＝外項の積から解く方法と同じになっています。
つまり、布の数と銀の数の対応関係が「比」ということになりますが、この数の対応が「比例関係」であることの確認はしていません。江戸時代の人には、片方が増えるともう片方が増える場合には、○：□＝●：■という、比が成り立つことは「自明のこと」だったのでしょう。決して自明でない場合も、比の関係にならない場合もあるにも関わらず。
たとえば、次のように考えています。
○丈の道に人が□人いるとき、●丈の道には■人いる。○：□＝●：■とやっています。
原文は、こうです。「仮令惣尺数二十六丈 惣人数六百二十人のつもりにして尺数七丈八尺の人数百八十六人ニ成」（今村知商『因気算歌』１６４０年）。
比例式で書くと、２６０：６２０＝７８：１８６で、この数値の比例式自体は正しい。しかし、道に人が並んでいる場合なのに、まったく植木算的発想はありません。人のいる地点が長さの起点になっていないのです。道の長さという「数」と人の「数」との間に、数と数の対応が成り立つ（比例する）ことを夢にも疑っていない、というのが江戸時代の先入観のようです。
つまり、一方の数が増え、他方の数も増える場合は、江戸時代では、その「比」は同じと考えてしまうのが自然だったらしい。それを知れば、井原西鶴の次の話に江戸時代の人が感心したわけも分かります。『本朝桜陰比事』にある話です。
「35歳になる男が15歳の娘と結婚の約束をしたが、娘の親は『男の年齢がせめて娘の年齢の2倍くらいだったら我慢できるが、これは年齢が離れ過ぎている』と奉行所に訴え出た。奉行は、５年後に結婚させれば、男40歳、女２０歳で２倍になるではないかと、名裁きをした。」
（数楽者さんのサイトから抜粋。
http://masanori432.ameblo.jp/masanori432/entry-10005060275.html
）
江戸時代の人の感覚は、３５：１５と４０：２０は同じ「比」ではない、ということに虚を突かれてしまうような「初期設定」だったようですね。