江戸時代からあった「つるかめ算の面積図」 | メタメタの日

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「つるかめ算の面積図」を歴史上初めて示したのは、関孝和の高弟の建部賢弘でしょう。中国の『算学啓蒙』(元代1299年頃)に注解を付した『算学啓蒙諺解大成』(1690年)の「鶏と兎が100、足の数は272」という問題に付した図です。

http://www2.library.tohoku.ac.jp/wasan/wsn-imgm.php?id=001197&km=103


江戸時代後期には、千葉胤秀が、『算法新書』(1830年)の中で、途中の計算の経過も分かるように次のように図解しています。

http://www2.library.tohoku.ac.jp/wasan/wsn-imgm.php?id=002904&cls=&km=59


 というわけで、「つるかめ算の面積図」は、江戸時代からあったわけです。


 ちなみに、鶴亀算という問題自身の、歴史上の初出は、中国の『孫子算経』(紀元4世紀頃)であることは、ちょっとした和算関係の本には書いてあるから、ご存知の方が多いと思います。ただし、解き方については、当時の中国は、算木で解いていましたから、いわゆる「つるかめ算」ではなく、原理的には連立方程式の解法と同じになります。

http://www.kyoiku-shuppan.co.jp/math/essay/040603.html


 しかし、中国でも、いわゆる「つるかめ算」の解法は知られていて、この解き方を、日本で始めて紹介したのは、今村知商の『因帰算歌』(1640年)になります。

http://www2.library.tohoku.ac.jp/wasan/wsn-imgm.php?id=003703&km=52


 つるかめ算は、当初は、中国のネタ本にならって、兎と雉でした。(兎の数え方を「羽」とするのは、ここに由来するのでは、とひそかに思っているのですが、証明はできていません。)兎と雉が、鶴と亀になるのは、『算法点竄指南録』(1815年)です。

 なお、江戸時代も「鶴亀算」という呼び名はありません。「差分」という分野の問題とされることが多かったようです。

 

 しかし、江戸時代の「つるかめ算」も、面積図の流れも、明治維新で一度断絶します。

 明治5年に、学校教育では、洋算を採用し、和算は教えないこととされ、和算家は失業するか、学校の先生に採用されて洋算を教えるかして、明治20~30年に和算家という存在は消滅したと言われます。しかし、和算のDNAは、受験算術の中に生き延びたように思えるのです。

 早くも明治10年代から中学受験は盛んになり、算術の問題が難化していきます。「つるかめ算」とか「出合い算」などが、「四則応用問題」の名前で、受験問題集に登場するようになるのです。方程式を使わずに文章問題を解く、いわゆる「特殊算」の花盛りになっていくわけですが、特殊算のすべてが、和算にルーツがあるわけではありません。(なお、明治38年から採用された小学校算術の国定教科書では、昭和10年まで「つるかめ算」は登場していません。)

 また、明治から昭和の戦前の受験算術の参考書や問題集の中に、「つるかめ算の面積図」があったかどうかは、まだ調査できていません。


 戦後の受験算数で「つるかめ算の面積図」が登場してくる経緯は、おそらく次のようなことではないでしょうか。

 1950年代に遠山啓氏らが数学教育協議会の運動を始めます。この中で、「量の体系」ということが提起されます。分離量と連続量、外延量と内包量とかです。そして、内包量の指導として、単位あたり量×単位量=総量の関係を、図を描いて説明します。この図が「面積図」にあたるわけです。

 この数教経の「量の体系」を、難解な私立中学入試問題の解法にも役立てられないかと考えた人がいて(数教経は、私立中学受験指導には関心はありません)、つるかめ算や過不足算、旅人算、食塩水の濃度、ニュートン算など、内包量がからむ問題を面積図で解くことを考えたのではないでしょうか。

 私は、1980年代に塾の講師になったときに、はじめて面積図を知り、それとは別に「量の体系」も知ったのですが、私にとって、面積図の正当化は、「量の体系」によってなされたのでしたから、正にこの流れの中にいたわけですが、そのことはずっと後になってから気がついたことでした。


 過不足算の面積図も江戸時代にあります。しかし、江戸時代の面積図は(つるかめ算の面積図も含めて)、「量の体系」には基づいていません。

 数教経の内包量の「面積図」も、江戸時代の面積図とは直接の関係はないでしょう。

しかし、内包量が二つの外延量の比として定義されるものである以上、内包量がからむ問題を図に表そうとすると、二次元図(面積図とかダイアグラム)になるのは、内包量の本質が然らしめることなのです。



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