角の二等分線④
こんにちは。ヨッシーです。私は長年数学教師をしておりました。
現在はフィリピンで日本語を教えております。
数学の魅力に魅せられたモノですが、何でもないごく普通の人間です。
このブログでは、多くの人に数学の魅力をお伝えしたいと思っています。
数学の魅力がわかれば世界が変わって見えます。
一生の財産となると思います。
AIの台頭する時代であるからこそ、数学的思考はより重要になると思います。
数学的思考に目覚めた人々が多くなることを夢みています。
【今回の課題】
・二等分線の性質を面積公式から導く
登場人物はヨッシー先生（Y先生）、努力家のM君、直観のするどいH君、冷静なSさん。
この３人とヨッシー先生の会話で構成されています。
ヨッシー先生 「みなさん、こんにちは」
「ヨッシー先生、こんにちは」
ヨッシー先生「今回は二等分線の性質を振り返ります」
Ｍ「外角の二等分線と内角の二等分線の定理がありました」
ヨッシー先生「もう一度定理を書いてみます」
ヨッシー先生「どのように証明しましたか」
Ｈ「結局、三角形の面積比を使いました」
ヨッシー先生「そうですね。面積比を辺の比で考えました」
Ｈ「角を使った面積表現がポイントだと思います」
ヨッシー先生「それができれば、簡単に証明ができそうです」
角は辺の比で表現されます。その考えから三角比の考えが生まれました。
ヨッシー先生「三角比を使って面積を求めてみましょう」
（α＝∠AOBとする）
Ｈ「sinαを使えば高さＢＣが表現されます」
M「角αを使って高さを表したわけだ」
Ｍ「あとは底辺をかけて2で割れば良い」
ヨッシー先生「公式②を使って公式を証明してみましょう」
M「これを使うと③ができそうです。
＝（1／2）OA・ＯＥ・Sinα：（1／2）OE・OB・Sinα
ヨッシー先生「簡単にできましたね」
H「こちらも面積比ですね」
M「確かに！△ＯＡC：△ＯBC
＝（1／2）OA・ＯC・Siｎ（180°―α）：（1／2）OB・OC・Sinα
＝OA:OB」
ヨッシー先生「ここで 公式Sin（180°―α）＝Sinα を使っています」
角を辺で表すという考えで三角比（Ｓin α）が考えられたのです。
三角比の考えで証明がより見通しよくなりました。
【応用】 次の問題を考えます。
Ｈ「角の三等分線の比？こんな公式は知りません」
ヨッシー先生「二等分線と同じ考えで解けませんか」
Ｍ「三角形の面積公式を使えば簡単です」
Ｍ「ＡＣ：ＣＤ：ＤＢ＝△ＯＡＣ：△ＯＣＤ：△ＯＤＢ」
Ｈ「これは三角形の面積公式から
ＡＣ：ＣＤ：ＤＢ＝ＯＡ・ＯＣ：ＯＣ・ＯＤ：ＯＤ・ＯＢ」
【話題】アポロニウスの円
ヨッシー先生「次の図を見てください」
ヨッシー先生「∠EOCは何度ですか」
M「360°の半分で90°です」
ヨッシー先生「そうです。では次の図を見てください」
ＯＡ：ＯＢ＝ＰＡ：ＰBとなる点Ｐをとる。
点ＰはＥＣを直径とする円周上の点となる。
ヨッシー先生「この円はアポロニウスの円と言われます」
Ｈ「点Pが円周上の点となるのはどうしてですか」
ヨッシー先生「∠ＥＯＣが直角になるからです」
Ｓ「直径の円周角は直角です」
ヨッシー先生「そうですね。∠ＥＰＣも直角です」
ペルガのアポロニウス
紀元前262年頃 - 紀元前190年頃）は、古代ギリシアの数学者・天文学者