数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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三角錐の高さ
三角錐の高さ posted from フォト蔵

 立方体を切断したときの切断面(切り口)に関する学習は,かつて中1の内容でした。これを習わなくなっているにもかかわらず,高校入試では,立方体を平面で切った切り口や切断後の図形の体積などの出題が結構あります。今日は,この立方体の切断に関する問題を考えてみたいと思います。

 ところで,立方体を平面で切ったときに現れる図形を予想するのは,案外大人でも難しいものです。図のような切り方だと,切り口の赤い面の形はEP=EQであるような二等辺三角形△EPQになります。安野光雅さんが描かれた不思議な絵の画集
安野 光雅
安野光雅の画集
安野 光雅
空想の絵本
に,切り口が円になっている立方体の切断面の絵があったように記憶しています。もちろんありえないと思いますけど,安野さんの絵だと本当にそういう切り口があるかのようにリアリティーがあります。

 いつものように受験生の皆さんは,解説を読む前にぜひ解いてみてくださいね。

(1)3点E,P,Qを通る平面で切った場合の点Aを含む側の立体は,三角錐E-APQ(点Eを頂点にもち,△APQを底面とする三角錐)と見ることができます。このように見ることができれば,三角錐の体積公式を利用して簡単に解決できます。

まず,△APQの面積は,底辺,高さがともに2cmになります。なぜなら,点P,Qは4cmの辺の中点ですから。
△APQ=2×2÷2=2(c㎡)

三角錐E-APQの高さは辺AEの長さ4cmになりますから,求める立体の体積は,
三角錐E-APQ
=(1/3)×△APQ×AE
=(1/3)×2×4
=8/3(3分の8)・・・①

(2)次に二等辺三角形△EPQの面積を求めます。
 まず,底辺PQの長さから求めてみます。点P,Qは2辺AD,ABの中点ですから「中点連結定理」の出番です。「中点」という言葉が問題文に入っていたら,この「中点連結定理」が使えないかなあと考えながら,図を眺めなおしてみると,ほとんどの場面で使えることが多いものです。
 △ABDは,直角二等辺三角形ですから,AB:AD:BD=1:1:√2 の比になっているので,BD=4√2と求まります。(辺の比からでなくても,AB=AD=4から三平方の定理を利用して,斜辺であるBDを求めることもできます。)
 中点連結定理から,PQ=(1/2)BDですから
PQ=2√2・・・②

 次に,二等辺三角形△EPQの頂角Eから底辺PQに降ろした垂線ESの長さを求めます。これは,直角三角形△ESQに三平方の定理を使えば求まります。QSは,PQの半分になりますから,②からQS=√2と求まります。
 一方,EQは,直角三角形△EAQに三平方の定理を使って求めます。AE=4,AQ=2ですから,
(EQ)^2=(AE)^2+(AQ)^2
(EQ)^2=4×4+2×2=16+4
(EQ)^2=20
 ここで,「^2」は「~の2乗」の意味です。
∴EQ=√20=2√5(2ルート5)

 三平方の定理を直角三角形△ESQに使って,垂線ESの長さを求めます。
QS=√2,EQ=2√5より,
(ES)^2=(EQ)^2-(QS)^2
=2√5×2√5-√2×√2
=20-2
=18
∴ES=√18=3√2(3ルート2)・・・③

 いよいよ二等辺三角形△EPQの面積を求めます。②,③より,底辺はPQ=2√2,高さはES=3√2ですから,
 △EPQ=(1/2)×PQ×ES
=(1/2)×2√2×3√2
=6
∴△EPQ=6(c㎡)・・・④

(3)(1)で体積を求めた三角錐E-APQは,(2)で面積を求めた二等辺三角形△EPQが底面,点Aが頂点,高さがARである三角錐A-EPQと見ることができます。三角錐E-APQと三角錐A-EPQは,同じ立体ですから体積も等しいことになります。2つの三角錐の体積が等しいことを式に表してみます。
三角錐A-EPQ=(1/3)×△EPQ×AR=8/3=三角錐E-APQ
よって,(1/3)×△EPQ×AR=8/3が成り立ちます。ここに④を代入してやります。
(1/3)×6×AR=8/3
両辺を3倍して,分母を払います。
6AR=8
両辺を6で割ってあげると,めでたしめでたし,
AR=8/6=4/3(3分の4)

 ようやく解決できました。

 空間図形の中で平面図形に関する定理を使うタイプの問題は,受験生を悩ませることが多いし,すばやくかつ正確な計算力が必要です。三平方の定理の空間図形への応用問題としてじっくり味わっておきたい問題だと私は思いますので,詳しく解説してみました。



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