ある動画で、コーチらしき人が「打ち終わりに面をかぶせる（打球後、面を下向きにしていく）とアウトの防止になる」と言っていました。
これはアヤシイですね。
打球後に面がどこを向こうが、打ったボールには関係ないです。だって、ラケットがボールに当たった後だから。
結果（ボールの飛び具合）に大きな影響を及ぼすのは、打球直前から打球までの面の向きです。
その動きの原因は、その直前の動きにある
とんでもないアウトをする人は、面を下向きにして打ち終わる人がとても多いです。
「打球前に面が上向きの状態になっているから、打球後に面が下向きになって終わる」「面を下向きにしようと思うほど、その直前、面を上向きしてしまう」という下手なほうのカラクリもあります。
アウトミスを防ぎたいなら、打球直前の面の向きをできるだけ下方向にすれば良いです。どれぐらい下向きになるかは持ち方や打つボールの高さによります。
この「できるだけ下向き」にした位置が打球する位置に近いほど、アウトミスは減ります。
この距離が遠いほどアウトする可能性は高くなる。面を上向きにする時間と距離ができてしまう。
打球ギリギリまで面を下向きにすると、今度はネットミスをするのでは？
はい、ネットミスの可能性は高くなります。でもこれは姿勢（体重の乗せ具合、身体の傾き具合など）で回避できます。
「アウトするから面をかぶせて終わればいい」程度で、アウトミスはなくなりません。