自慢という単語は、pride, boast, bragでなどあります。
では、自慢するわけじゃないんだけど…と前置きする時の言い方はbragを使って
Not to brag, …
I don't want to brag, …
という言い方が出来ます。
Not to brag, I bought the new car.
(自慢じゃないけど、新しい車買ったんだ)
I don't want to brag, I have the tickets to see the show.
(自慢じゃないけど、そのショーのチケット持ってるわ)
pride は「誇りに思う」的なニュアンス
boastは「豪語する」「見せびらかす」的なニュアンス
bragは「見せびらかす」で、boastより他人に不快感を与えるようなニュアンスです。
だからNot to brag など、自慢じゃないけどと否定するように使うのです。