先日は、
の中で整数で動いている物について書きましたが、小学校１年生で出てくる内容は後に向きが同じベクトルの合成で使うことになりますから、この考え方が逆向きになった物が負の数列になるので、この数列の基礎部分は小学校の算数の最初に倣う物になります。
数列の応用がデカルト座標系の 【 平面座標 】 になりますが、それがグラフになりますが、グラフィックを用いる時にベクターグラフィックの場合、二軸の平面座標の座標制御なのですが、数列だと、直線状の座標になりますが、これが二軸になると、二つの数列の交点が座標になります。その為、この概念は代数だと分かりにくい内容になりますが、 【 幾何学 】 の形にしているのでわかりやすくなっています。
その為、小学校1年生では 【 かずのせん 】 という形で数列が登場しますが、0の概念も登場するので、整数側の数列を特定の範囲で学ぶことになりましが、中学校では、０以下の数値を使った数列の存在を学ぶので、 【 かずのせん 】 が ±∞を示す1次元の座標の推移を示す 【 数列 】 と言う物になります。
小学校だと、
のようなグラフを見ると思いますが、正比例のグラフが中学校で出てくる関数のグラフになりますが、小学校で出てくるグラフの全てが、オフィースソフトのグラフ機能で作ることができます。
小学校だと、
のようなグラフが出てくると思います。
棒グラフは小学校3年生で登場して、
4年生になると折れ線グラフが登場します。
そして、小学校5年生になると、帯グラフ
と円グラフ
が登場します。
6年生になると、ヒストグラムとドットプロットが登場するのですが、ドットプロットは、数値をマスの中にドットで配置して数字を並べていく事で推移を表示する物になるので、イメージ的には、小学校1年生で登場する 【 絵グラフ 】 を簡素化したような状態でグラフの二軸の特徴を持ったものになります。ヒストグラムは棒グラフに似ていますが、
【 範囲 】
が存在しており、その中で数値を持っているので、その数値がどう推移しているのか？を示す事になります。
ヒストグラムについては、先日、
の中で紹介しましたが、
のような感じの物になります。これは正規分布になりますが、集計をする際に
横軸に対してどの数値の項目に台頭するのかを●を並べて棒グラフ状にするのがドットプロットになります。先日、
■ 中央値
（大きな数値から順に並べて真ん中にある数値）
■ 最頻値
（データを取った時に最もサンプルが多かった数値）
についても書きましたが、この考え方も知っておいた方がいいかもしれません。と言うか、標本調査と全数調査についてもそうした物が登場しますが、
のような分布がある場合に
のような層で分けたら範囲ごとのサンプル数を出せますが、この範囲と数で分布をみるのがヒストグラムになります。
中学校3年生で出てくる標本調査と全数調査では、ヒストグラムは角ばった物になっていますが、ヒストグラムはグラフィックの分野でも使用しています。
写真を加工する時に、撮影データを基に調整しますが、撮影時には現在の状態がどうになっているのか？という状態をヒストグラムで確認する事ができます。
RGBのデータが、どうなっているのかで、明るさの状態が違ってきますが、アンダーに振れるとヒストグラムは左に偏り、オーバーに振れると、ヒストグラムは右に偏ります。
画像を開いてレベル補正をする場合、
のようになっていますが、これが色の山になります。つまり、最頻値がどこにあるのか？をこれを見ることで確認できます。この状態から、オーバーに振ると、
のようにヒストグラムが右に寄りますし、アンダーにすると、
のようにヒストグラムは左に寄ります。また、
のような感じで少し調整をすると、ヒストグラムは画像のように変化します。
天体の写真は日周運動で星が流れないように撮影する事になりますが、小さなズレだとガイド補正ソフトで調整する事ができます。調整をすると、
のような感じになりますが、適正に追尾をした時のようなディテールは残りませんから、撮影時に赤道儀で追尾する必要があります。
3分の長時間露光を粉うと、日周運動によって、星が流れるので、
のように星が流れるのですが、ガイド補正をすると、
のような感じにできますが、天の川のディテールが破綻するので、露光時間を延ばす場合には、適正な露出で赤道ぎで追尾する必要があります。
この日周運動での星の動きが存在するという内容は、中学校３年生の地学で登場しますが、そこで、
【 北半球だと北極星を中心に回っている 】
と学ぶと思います。この条件を考えると、
【 回転軸の中心を見つけて、そこを中心に日周運動に合わせて
回転させれば、日周運動による星が流れる現象を回避できる 】
という事もイメージしやすいと思います。この特性を用いて、星を常に追尾する仕組みが、天体望遠鏡で実装されているドイツ式赤道儀の機能になります。その為、曲軸の割り出しを行って特定のトルクで望遠鏡の軸以上を制御することで、同じ星を常に観測する事ができる機能が実装されているのですが、天体望遠鏡には、ジンバル雲台のように手で動かせるタイプの 【 経緯台 】 の物がありますが、これは二軸なので回転に対応していないので、ドイツ式赤道儀のように周回するような物には対応できません。その為、望遠鏡の部分は同じですが、何で固定してあるのかで出来る事が異なります。この二種類の固定器具ですが、現在では、電子式の物があり、自動で動かせるものがありますが、二軸回転と三軸回転の違いがあるので、制御系が異なり、星の追尾における自由度も台によって違ってきます。
このようにヒストグラムは、画像処理を行う時の色の目安として使うので、動画や写真を撮影する時にも参照しますが、義務教育では、こうした分布をみる為のグラフも登場します。あと、二軸の比較をするグラフもありますが、
気温と熱中症の人の関係を示すグラフを用意する場合、日付は同じでも項目が違うので、棒グラフを並べると分かりにくくなります。その場合、
のように棒グラフと折れ線グラフを組み合わせたものを使うことになります。
あと、帯グラフですが、
のように数値ごとに並べた物もありますが、全体を100%としてその中の構成比率（全体の中における割合）を示す事もできます。
グラフの対象に問題があるので、何のグラフか解らない状態になっていますが、こうしたグラフも作れます。あとは、
のような面グラフや
のようなチャートも作れますし、データを取った時の分布を表示することもできます。
グラフを見る場合、整数の形で出てくる事が多いと思いますが、小学校3年生で小数や分数が登場します。
分数と言うのは 【 数を分ける 】 と書いてありますが、その名前の通りの記述になります。この時に、
のように間にーが入っていて、上下に数字が並んだものが登場します。この形ってどこかで見た事があるなぁ？と感じた人が多いと思いますが、この形は割り算の記号の 【 ÷ 】 に似ています。これの書き方を変えると、
●
━━━
●
になります。文字と同じサイズで書いているので、こんな感じで大効くしてみることは少ないと思いますが、この構造を見てみると、●の部分に数字を入れると分数になります。
その為、 【 分数は割り算である 】 という事が解ります。ただし、割り算と異なるのは、 【 構造が存在する 】 という点です。
分数は、先程描いたように 【 数を分ける 】 時に使用します。その為、
【 その中で選択する数 】
━━━━━━━━━━━━━━
【 分割する数 】
と言う構造になっています。
この分数の概念ですが、数式を取り扱う 【 代数学 】 でも使用しますが、分数は 【 形状 】 を扱う 【 幾何学 】 でも使用します。
これが、小学校高学年になると 【 幾何学 】 で登場する訳ですが、その一例が、 【 面積の算出 】 で使用します。
何を覚える場合も新しい知識を得る場合、数学の分野では最小単位を使います。その為、最もわかりやすい数値を使うと、数列上の小さな値を選択する事になります。
算数の数式では、1という小さな数値を使いましたが、掛け算のように反復して足していくような物だと、
【 1倍したら1にしかならないので、2を使う事になる 】
ので、 【 １ × ２ ＝ ２ 】 のような物を学びます。と言うよりも、九九を学ぶのでこの考え方で掛け算を覚えている人も少ないかもしれませんが、割り算も同じように
【 １から1を引いたら何回弾けるでしょうか？ 】
のような式を計算することはないので、この場合も、2を使うことになるので、
【 1倍したら1にしかならないので、2を使う事になる 】
ので 【 １ ÷ ２ ＝ ０，５ 】 のような物を学びます。それと同じ世に分数も割り算と同じなので、２を使う事になりますから、
１
━━
２
を使うことになります。これは、１÷２と同じなので、分数は小数に変換する事ができます。この数字は、 【 一つの物を2つに分けた時の１つを選んだ状態 】 と同じですが、この半分にすることと同じになります。この状態で見てみると、元の数値を2で割った物なので半分という事が確認できるともいますが、三角形の面積を出す場合にも分数を用いる事になります。
四角形は四つの頂点を持ち、四つの角の全てが90°の物を指しますが、対角線を引くと三角形が二つできます。対角線を二つ弾くと、交差する点が四角形の重心になります。
この条件から、
■ 対角線を１本入れた場合
■ 三角形が二つできる
■ 対角線を２本入れた場合
■ 三角形が二つできる
のようになりますが、この時に出来ている三角形を見ると、最小単位で考えると、四角形を半分にしたものが三角形という事になります。そのため、 【 四角形の面積を半分にした物 】 なので、公式もそうした作りになっています。
面積については、
や
や
の中でも触れていますが、
【 分数は割り算の書き方が変わっただけ 】
という事を理解すると分数で困惑することはなくなります。これと同じように 【 比率 】 と言う物が登場しますが、6年生の算数では、幾何学の分野で 【 拡大・縮小 】 が登場します。これは、倍率と言う考え方になるのですが、この場合、 【 同じ図形の寸法が変わる状態 】 を示しています。この図形の関係性については、中学校でもう一度出てきて、同じ形で倍率が違うだけの二つの図形の関係が 【 相似 】 と呼ぶことを学びますが、小学校6年生では、相似の図形の拡大縮小について学びます。
小学校で登場する幾何学の分野では、 【 面積や体積 】 が登場するので、掛け算や割り算が登場する訳ですが、応用問題で、
【 くりぬいた形状 】
なども出てきます。ベクターグラフィックツールを使った場合のブーリアンの処理と同じような方法で用意した形状を特定の形状でくりぬいたような物になりますが、この場合にデカルト敬座標の平面の図形の場合には、 【 面積の引き算や足し算 】 を行い、ユークリッド空間における歪みのない三次元空間における立体形状を用いた場合だと、これが 【 体積の引き算や足し算 】 を行う事になります。その為、
【 面積や体積の公式の解 】 ＋ 【 面積や体積の公式の解 】
【 面積や体積の公式の解 】 ー 【 面積や体積の公式の解 】
のような算出方法になります。分数の場合、先程の三角形の面積のような場合に使用しますが、計算時には分母として登場しますが、数式の構造上
【 中学校の方程式や関数の公式では、÷の記号を見かけなくなる 】
ので、分数に慣れておいた方が後の数式で混乱しなくなります。
算数までだと、÷や×の記号を見かけますが、分数になったり省略されるようになりますが、 【 計算自体は同じ 】 なので、中学校意向だと数式の形態が少し変わってきます。この理由は、元の数字に対して係数が幾つなのか？で考える事になるので、【 数式の法則性が存在する場合、任意の数値の場合だと係数になっている 】ので、そうなります。
数 学における定数と変数の違い
小学校では、方程式と恒等式は出てこないのですが、比例と穴あき問題が出てくるので、
■ 正比例
グラフを見るという条件だけなので、数式の法則性
を示す数式は学びません。ただし、グラフでの推移
を見て判断することは行います。
■ 穴あき問題
数式の一部に穴が開いており、それを埋めて等式を
成立させるための問題。
のようなことを行います。正比例と言うのは、
のようなグラフになりますが、小学校で出てくるのは、この整数部分だけです。つまり、0以上の状態でどう言った振る舞いになるのか？と言う内容になります。グラフを見てもらうと、整数以外の部分も埋まっているので、グラフを拡大した場合、この法則に準じた値は小数も含まれていることが確認できます。
同じように動くという事は、 【 法則性がある 】 からなんですが、この法則性を数式で示して、その法則性を幾何学によって目で見て変化を確認できるようにした物がグラフになります。その為、代数学と幾何学の組み合わさった分野になりますが、この推移のある恒等式によって作られている無数の座標で構成され物が関数であり、これを使う分野が統計学や解析学になります。
この比例を学ぶと、 【 法則性 】 については学習すると思いますが、数値のデータとグラフでの推移と言う形で確認する事ができます。これを行うと、等差数列などは目に見えてわかるのですが、比例とは等差数列と同じような推移をするものと確認できます。等差数列とは、
■ 等差数列
はじめの数に一定の数を足し続ける数列
になりますが、この場合、増加する数値は一定になります。こうした増加をするものは、 【 y = ax 】 のグラフになりますが、小学校だと、等差数列は
【 前後の数値の推移を見て法則性を見つける 】
事で判断できますが、グラフにすると分かりやすい特性があります。
その為、関数の数値の推移については、実は、小学校で数値の並びだけで判断する方法で触れています。それが、
■ 等差数列
■ 等比数列
になります。等比数列は、 【 次の数と前の数を比較した場合、一定の倍数になっている数列 】 のことになりますが、中学校の数学を学ぶと、この二つが
■ 等差数列 ＝ 一次関数
■ 等比数列 ＝ 指数関数
という事に気づきます。つまり、数値の推移だけだとすでに触れた事のある物とその法則については学習済みですが、そう言った物を表を使わずに、 【 法則性を示した数式で理解する 】 という目的の物がこれになります。
ちなみに、
■ 等差数列の計算
■ 初項（最初の数字） ： a
■ 公差（増加分の数値） ： b
とした時に、n番目の数値を算出るする場合の等差数列の一般項は、
a + b ( n - 1 )
で算出できるので、bn-(-b+a) となるので、bn+b-aと言う式が出来上がります。
そうなると、このn番目の数値の文字をxに置き換えてaとbを入れ替えて関数にしてみると、
y = ax+a-b
と言う式になりますから、これは一次関数という事になります。
つまり、bnが係数で、-1*（-b+a）の部分がグラフにおける切片になります。
■ 等差数列の計算
■ 初項（最初の数字） ： a
■ 公差（増加分の数値） ： b
とした時に、n番目の数値を算出るする場合の等比数列の一般項は、
a * bn-1
になります。という事は、 a * bn-b となり、 a / b * bn のようになります。という事は、これを計算すると、 【 a/bは係数 】 なので、この係数を持指数関数という事になります。
中学校の授業では、等比数列や等差数列の法則性を数式で示す事が出来る物を学習しますが、比例と言うのは等差数列と同じ振る舞いで、一次関数の部類になりますが、y = ax +bの式を簡素化すると、
■ 係数 ＝ １
■ 切片 ＝ ０
と言う状態になりまから、簡素化すると、YとXが同じものであることを示す数式の Y = X になります。このグラフが
のようになりますが、中学校では符号を習っているので、こうしたグラフになります。また、係数の変化でグラフは変わるので、
のように係数で変化します。
この数式を見ると、英文字が出ていますが、等差数列は一次関数として中学校で習うことになりますが、穴あき問題についても、
２４ ＋ □ ＝３０
と言う問題があった場合、穴あきの部分を英文字に変えた物が方程式になります。この場合、６を当てはめるとその答えになりますが、
この問題だと、24に何かを足して30になる数を出すという物になりますが、中学校に入ると、こうした四角形は出てこなくなり、むしろ枠と言う扱いで 【 回答欄 】 として文章の中に登場するようになります。
小学校ではこの穴あき問題が出てきますが、この問題を方程式に書き換えると
２４ ＋ ｘ ＝３０
になります。つまり、数式の構造上、英数字の構造物として完成させる必要があるので、同じことをする場合には、変数を使うことになります。
中学校になると、÷の記号を見かけなくなると書きましたが、方程式では、英数字の構造になりますが、割り算の場合には、分数を用います。と言うのも、分須を使うと通分、約分も可能ですし、分母と同じ数字を掛け合わせることで分母絵を消す事もできますから、数値の状態をコントロールする時に÷の記号で構成されている物よりも分数の構造の方が都合場いいので、割り算を行っている部分は数式では分数として登場します。あと、累乗を学んで指数が登場した後だと、指数で表記する物も登場しますが、累乗と言うのが便利な機能で、
■ 指数を分数（１/ｎ）にすると累乗根になる
■ 指数に符号をつけると、分母が累乗になる
■ ｎ進数の場合、指数がｎで桁が繰り上がり、
符号が付くと桁が繰り下がる
（＊）なので、整数で指定した指数だけの変化だけで
シフトレジスターを作る事ができます。
という特性があります。その為、より計算しやすい表記をするようになるので、効率的な書き方になる訳ですが、足し算と引き算だけで処理をすると累積した計算（ループ処理）を行うような状態だと大変でですが、四則演算を学ぶと処理が簡単になります。数学だとループ処理を行う場合には、便利な表記を行って、数式を見やすくするような方法が用意されているので、
■ 乗算（かけ算） ： 元の数を指定した数だけ足していく
処理
■ 除算（わり算） ： 元の数から対象の数を引いていき
引けなくなるまで繰り返し、その回
数を求める方法
のように足し算と引き算で行うと非現実的な状態になる物を効率的に行う為の術として用意されている物になりますが、
【 掛け算でも出来たら便利に違いない 】
と言うのは掛け算と割り算の利便性を知るとそう感じるはずです。
そう考えると、 【 乗算処理を累積した物を計算する方法 】 を考えるわけですが、その方法が、名前の通り 【 累乗 】 になります。
掛け算や割り算のメリットは、 【 巨大な数値を扱う時に便利 】 な点になりますが、累乗も同じ特性があります。
例えば、7x7x7と言う物に対して、7x7x7x7を掛け合わせるとすると、これは並べればいいので、7x7x7ｘ7x7x7x7になります。この場合、この数値は指数で示す事ができますが、この状態を数式に置き換えると、計算時の状態とは異なる数式になります。上記の状態を累乗に置き換えると、 【 73 + 74 = 77 】 になります。つまり、
【 am × an = am+n 】
のような簡素な式で累乗の掛け算を行う事ができます。割り算も同様で、この場合は、割り算という事は、かけている部分を打ち消す事になりますから、
【 am ÷ an = am-n 】
となります。また、累乗と言うのは変数化している時だけ英数字ですが、変数の特性がそれであり、その変数をさらに累乗することもあります。つまり、 【 累乗の累乗 】 と言う物です。つまり、
（7ｘ7ｘ7ｘ7）ｘ（7ｘ7ｘ7ｘ7）ｘ（7ｘ7ｘ7ｘ7）ｘ（7ｘ7ｘ7ｘ7）
のような感じですね、これは数が少ないのでまだいいのですが、指数の桁数が増えると、数式が酷いことになります。
この式は、 （74）4 と言う物になっていますが、式の構造を見てもらうと、指数分だけ掛け合わせてある状態なので、
【 （am ）n = amn 】
で算出する事ができます。また、異なる数値の累乗の場合、指数をその数値に加えることで展開できます。これは、
（3ｘ9）ｘ（3ｘ9）ｘ（3ｘ9）
と言う数式があった場合、
(3x3x3)x(9x9x9)
に置き換える事が出来るので、
【 （aｂ ）n = anｂn 】
が成り立ちます。また、分数も同様で、
【 （a/ｂ ）n = an/ｂn 】
が成り立ちます。算数の場合、3+3+3のように数値が累積している場合、【 3が3個なので掛け算 】として考えますが、中学校に入ると、
3+3+3-4-4-4
のような数値があった場合、
3*3-（4*3）
のように置き換える事になります。この場合、4を3回引いているので、
数値部分だけ先に計算してそれを引いても同じなので、数値をまとめる事が出来るのでこうした式に置き換える事ができます。と言うのも、
-4 ＝ -1 *4なので、4に符号が付いたものなので加減法の場合だと、－を外に出して数だけまとめる事ができます。計算をする場合数式は簡素な方がいいのですが、足し算の塊を掛け算に置き換えると分かりやすく、引き算の集合体は数値をまとめて符号にしたほうが計算しやすくなります。その為、 【 負の数 】 や 【 符号 】 と言う物を用いるようになります。
累乗は、これが掛け算になったときに使用する物になりますが、前述の足し算の羅列が掛け算になった時に数式として見やすく、そして計算しやすい状態にしたものがる以上になります。ちなみに、
【 a0 = 1 】
で、指数に符号をつけると分数になるので、
【 a-n = １/an 】
になります。あと、分数は割り算なので、a÷bとa/bは同じですから、指数がついても考え方は同じです。
グラフを扱う場合には、比率やパーセンテージが登場しますが、この時の考え方が 【 対比 】 になります。そして、その場合、全体を1とした時にどの程度の割合を占めるのか？になりますが、この時に全体を100とした時の数値を示すパーセンテージと歩合と言う割合を示す表記を学びます。小学校で出てくるものになりますが、
■ 割（わり） ： 0.1 （10％）
■ 分（ぶ） ： 00.1 （1％）
■ 厘（りん） ： 000.1 （0.1％）
という単位も出てきます。歩合については単位の一つですが、数値を見る場合でも、桁数が巨大にならないような単位で収めるので、単位が何であるのかで、数列上の数値に置き換えた時の数の大きさは違ってきます。
割合は前述のように小数（小数点数）になりますが、分数を学ぶと比率についても理解しやすくなります。1:5のような形で表示されるものになりますが、この場合、
■ １に対して５倍の割合
■ １/5に対して１の割合
と言う意味合いになります。つまり、この場合、前述のように大きい数値の方を分母にすると分数として考える事ができます。
比率については、歯車のギア比などで使用しますが、1:5の場合、歯車の歯の数の違いになりますが、
■ 大きい歯車が１回転する間に小さな歯車が５回転する
■ 小さい歯車の歯の数に対して大きな歯車の歯の数は
5倍ある
のような感じになります。料理の合わせ調味料を作る時に、基準となる物を1とした時に、それに対して別の調味料をどの程度いればいいのか？を示すときに 【 倍率 】 で示すと分かりやすくなります。
レシピの分量があって、その中でのグラム数が表記されている場合、料理の量の増減にわせて比率を調整する事になりますが、レシピの分量を1とした時に、調理する量がどれくらいなのか？を決める時に比率に合わせて分量を調整します。一人分のレシピがあったとして、4人分必要だと材料は4倍にする必要がありますから、レシピが1で実際の製作する量は4ですから、1：4で考えます。こうした比率は、めんつゆなどで書かれていますが、かけつゆと丼物では希釈率が違うので、異なる比率が書かれています。全体の量を決めてから、その後、その分量を比率の総数で割った物を1として考えて、分量を入れて行くことになりますが、希釈率や対比を行う場合に比率を使います。これも分数などに置き換える事が出来るのですが、物の挙動や対比を行う時に使います。
小学校では基礎分野をかみ砕いてなるべくわかりやすく学習するような状態になっていますが、基礎分野を知っておくと後に学ぶ物に直結しているので、そこが抜け落ちてしまうとステップアップをすると解らなくなる場合があります。また、数学では、小学校の段階で幾何学は当たり前に登場しますし、前述のように 【 解析学や解析学は幾何学と代数学の構造物ですから、それが、代数よりなのか幾何より七日の違いしかない 】 ので、数学を学習していると、グラフは必ず出てくるので、幾何学がなくても大丈夫と言う条件は存在しません。
また、AIの分野は解析学の部分が多いので、AI関連で幾何学を知らなくても大丈夫と言うのはありえませんから、定規などを使った図形などの理解や面積や体積を出す事も普通に学んでおく必要があります。と言うのも、それが解っていないと 【 積分の意味が解らなくなる 】 からです。ステップアップをする上で基礎が必要ですし、基礎分野は後に学ぶ物に直結しています。その為、一つの物を深く掘り下げて学習する上では、義務教育で学ぶ物と言うのは基礎として重要になります。と言うのも、高度な事を始める場合、基礎分野の理解をしたうえで学習を進めれば、アップデートで済むので難易度が低くなるので、新規に基礎分野から覚えるよりも学習量も少なくて済みますし、何よりも難易度と習得するまでの時間が少なくできるという利点があります。その為、訳も解らず応用分野を行おうとすると理解に至らずに知識もつかないので、そうした間違いを行うと知識と物の理解においてはかなり遠回りになってしまいます。その為、知識の場合、個別の物を理解していく必要がありますから、 【 知識をつけて、思考の上において当たり前に使えるようになるという結果 】 を重視する場合だと、 【 基礎固め 】 と 【 拡張 】 が最短ルートになります。