【小4育テ算数】立体ボス問題の解説（最大・最小問題）

皆さん、こんばんわ～シュンタです。

今週末の育テ算数、立体の最終ボスについて、ご質問をいただきましたので解説します。分かるって方はスルーしてくださいね。（本科Ｐ317問７③最終問題のラスト）

※私の考え方と息子の考え方の両方を載せます。（でも、はっきり言って息子の方が子ども目線で上手な解法です）

（問）何個かの立方体をはり合わせ、表面積が54㎠の立体を作ります。このときできる立体の体積は最大で何㎠ですか。また、最小で何㎠ですか。

〈私の考え〉

（１）体積が最小＝個数が最少の時➡一列に並べる時である。

なぜか？

↓

体積が最小ってことは、サイコロの個数が一番少ないもの（最少）を選べばいいのです。これは当たり前の話ですね。（例）サイコロでハムスターの家を作るのに、家の大きさ（体積）を一番小さくするには、サイコロの個数を一番少なくすればいいんですよね。当たり前です（省エネと考える）。

では、サイコロが一番少なくて、かつ表面積が一番大きくなるのはどれ？これは、”一直線型”です。これはなぜか分かりますか？（同じ問題の①が誘導になっています）

では１列に並べる時の表面積を書き出してみよう。

1個➡　2個➡3個・・・・・□個

6㎠➡10㎠➡14㎠・・・・５４㎠

最初が６、差が４の等差数列になるので、54㎠になる時を□個とすると、

６＋４×（□ー１）＝５４　

□＝１３㎤

よって体積の最小は１３㎤

（２）体積が最大＝個数が最多の時➡立方体に並べる時である。

立方体は、どこから見ても正方形に見えます。では一方から見ましょう。

例えば正面から見てる面積は、

５４㎠÷６面＝９㎠

よって、正方形の1面の面積が９㎠であることが分かる。

□×□＝９㎠

□＝３cm

つまり、一辺は３個のサイコロであることが分かります。だから全体の体積は一辺×一辺×一辺より、３×３×＝２７㎤。

よって、体積の最大は２７㎤。

（補足）

サイコロの個数が最多になってかつ、表面積を小さくするには、面同士が接する部分を増やせばよいです（①が誘導）。

つまり、立方体の前後・左右・上下の面に立方体をくっつけていくので、全体の形も立方体になるということです。

さらに、個数によっては立方体にならない時もあります。例えば１２個使う時。これは立方体にならないのでは？という疑問を持つ人がいるかもしれせん。もちろん１２個のように、個数によってきちんと立方体にならない時もありますが、個数を増やしていく過程で立方体になるように、ルービックキューブになるようにくっつけていくのです。だから、□×□＝で考えていいのです。

次に息子の考え方です。

〈息子の考え〉

（１）体積が最小＝個数が最少の時➡一列に並べる時である。（これは私と同じ）

一直線になる時で表面積が５４㎠なんでしょ。

まず、左右（両サイド）の２面をはずしてみるよ。

５４㎠ー２㎠＝５２㎠。

この５２㎠ってのは、長い側面の4面分だよね。だから４で割ると1面分が出るね。

５２÷４＝１３。

だから１３個が連なってるって簡単にわかる。

だから体積が最小は１３個。

１個１㎤だからそのまんまで１３㎤。

（２）体積が最大＝個数が最多の時➡立方体に並べる時である。