以前の記事の続きです。
水そうに棒や容器を出し入れすると水位はどうなるかという「水そうと棒」の問題の第4弾です。
その1（東京女学館2023帰国）
縦が20cm、横が30cm、高さが20cmの直方体の形をしたふたのない容器があり、【図1】のように15cmの深さまで水が入っています。【図2】は、【図1】の状態であった容器に、底面積が100㎠の四角柱Aをまっすぐ入れた様子を正面から見た図です。【図3】は、【図2】の状態であった容器に、四角柱Bをまっすぐ5cm入れたところで、水面が容器いっぱいになった様子を正面から見た図です。
このとき、次の各問いに答えなさい。
⑴ この容器に入っている水の体積は何Lか求めなさい。
30×20×15＝9000㎤＝9L
⑵【図2】の中の□にあてはまる数を求めなさい。
底面積と水の深さは逆比の関係にあることを利用すると
- 容器の底面積は30×20＝600㎠。ここに「底面積が100㎠の四角柱A」を入れると底面積は500㎠になる
- はじめの水の深さ15㎝。ここに四角柱Aを入れると深さ□㎝になる
よって 600：500＝□：15。この比例式を解くと
□＝15×6÷5＝18㎝
⑶ 四角柱Bの底面積を求めなさい。
図2では容器にある空気部分の体積は500㎠×2㎝＝1000㎤
ここに「四角柱Bをまっすぐ5cm入れた」ときこの空気部分がちょうどゼロになった（図3）から四角柱Bのうち水につかった部分の体積も1000㎤とわかる。
よって 1000÷5＝200㎠
その2（浦和明の星2023）
図1のような水の入った直方体の形をした水そうに、図2のような三角柱の形をしたおもりを、縦40cm、横60cmの長方形の面を下にして入れたところ、水の深さが20cmになりました。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、答えが整数にならないときは、帯分数で答えなさい。
① おもりを水そうから取り出したとき、水の深さは何cmになりますか。
おもりを入れることで「水の深さが20cmに」なった。このときの見かけの水量は96000㎤（＝80×60×20）
そしておもりが水そうに入っているとき、その水につかった様子を図にすると次のとおり。
青の立体図形は三角柱から上半分（体積にすると¼）を切りとった形だからその体積は
60×40÷2×40×(1－¼)＝48000×¾＝36000㎤
よって実際の水量は60000㎤（＝96000－36000）だったとわかる。
おもりを取り出すとこれが水そう全体（その底面積は80×60＝4800㎠）に均等に広がるから、このときの水の深さは
60000÷4800＝²⁵⁄₂＝12½㎝
② ①の後で、おもりを底辺60cm、高さ40cmの直角三角形の面を下にして入れました。このとき、水の深さは何cmになりますか。
おもりを「底辺60cm、高さ40cmの直角三角形の面を下にして」入れる前後の底面積を比べると
- 入れる前…80×60＝4800㎠
- 入れた後…4800－60×40÷2＝3600㎠
おもりを入れる前後の底面積の比が4800：3600＝4：3だとしたら、底面積と水の深さは逆比の関係にあるから水の深さの比は3：4
よって、おもりを入れた後の水の深さ□㎝は
3：4=12½：□ より
□＝12½×4÷3＝50÷3＝16⅔㎝ 
