今回は２つの整列集合の関係について紹介していきます。
定理３(整列集合の比較定理)
整列集合W,W*を２つの順序同型とする。このとき⑴〜⑶のうちただ１つだけが成立する。
⑴W~W*
⑵ある元a*∈W*が存在しW~W*<a*>
⑶ある元a∈Wが存在しW<a>~W*
(証明)
まず、⑴,⑵,⑶が同時に成立し得ないことを示す。
⑴と⑵とが同時に成立したと仮定する。
⑴よりW~W*が成立する。⑵よりある元a*∈W*が存在してW~W*<a*>が成立する。
よってW*~W*<a>が成立するがこれは補題３に矛盾する。
よって⑴と⑵とは同時に成立しない。
同様の議論により⑴と⑶とは同時に成立しないことがわかる。
⑵と⑶とが同時に成立したと仮定する。
ある元a∈Wとa*∈W*とが存在してW~W*<a*>とW*~W<a>とが成立する。
W~W*<a*>であるから補題４よりある元b*∈W*<a*>が存在してW<a>~(W*<a*>)<b*>=W*<b*>が成立する。
W*~W<a>とW<a>~W*<b*>よりW*~W*<b*>が成立するがこれは補題３に矛盾する。
したがって⑵と⑶とは同時に成立しない。
以上で⑴,⑵,⑶が同時に成立し得ないことが示された。
次に、これらのうち必ず１つが成立することを示す。
まずW,W*の部分集合J,J*を下のように定める。
J={x∈W|ある元x*∈W*が存在してW<x>~W*<x*>が成立する。}
J*{x*∈W*|ある元x∈Wが存在してW<x>~W*<x*>が成立する。}
x∈Jに対して上の条件を満たすx*∈W*の元(J*の元でもある。)はただ1つに決まることは補題３の⑵よりわかる。
x*∈Jに対して上の条件を満たすx∈Wの元(Jの元でもある。)はただ1つに決まることは補題３の⑵よりわかる。
したがってxに対してx*を対応させるJからJ*への写像をfとするとこれは全単射になる。部分集合Jと写像fについて次を示す。
①x∈Jかつy∈Wかつx>y⇒y∈J が成立する。
②fは順序同型写像である。
①f(x)=x*とする。fの定義よりW<x>~W*<x*>が成立する。
y<xすなわちy∈W<x>であるから補題４よりある元y*∈W*<x*>が存在して
(W<x>)<y>~(W*<x*>)<y*>が成立する。
よってW<y>~W*<y*>でもあるからy∈Jが成立する。
②fは全射であるから順序同型であることを示すには順序単射であることを示せばよい。
y<xならばy*∈W*<x*>であるからf(x)<f(y)が成立する。
f(x)<f(y)とする。y≧xだとすると上よりf(x)≧f(y)となり矛盾する。
したがってy<xである。（Wは整列集合だから全順序集合であることに留意せよ。）
よってfは順序同型写像である。
これによって①と②とが正しいことを示すことができた。
①と全く同様にして、
③x*∈J*かつy*∈W*かつx*>y*⇒y*∈J* が成立する。
①と③および補題１よりJ,J*はW,W*自身と一致するかその切片である。
また②よりJ~J*である。
(イ)J=W, J*=W*のとき
W~W*であるから⑴が成立する。
(ロ)ある元a∈Wが存在してJ=W<a>,J*=W*のとき
W*~W<a>であるから⑶が成立する。
(ハ)ある元a*∈W*が存在してJ*=W*<a*>,J=Wのとき
W~W*<a*>であるから⑵が成立する。
(二)ある元a∈Wとa*∈W*とが存在してJ=W<a>,J*=W*<a*>のとき
W<a>~W*<a*>であるからa∈J=W<a>となる。これは明らかに矛盾する。
以上より⑴~⑶のいずれかが成立することを示すことができた。(証明終)
次回は整列集合の族について解説します。
では、源義経に感謝。
参考文献
・『集合・位相入門』、松坂和夫