定常過程と非定常過程 | SystemTradingのブログ

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さて、経済関連の時系列データを扱うために必要な知識として差分、階差

と解説をしてきました。これらの内容については下記記事を参照してくださ

いね (^-^)/

 

 

参考 : 差分と和分と市場分析

参考 : 階差と差分

 

 

これらの知識は時系列解析を行うための基礎知識なのですが、実はこれら

の知識は今回の内容が加わって初めて意味のあるものとなるのです。そして、

今回の内容は、

 

 

時系列データにおける定常過程と非定常過程

 

 

なのです。内容がちょっと難しくなるので今回は基本的な内容に留めておこう

と思います。難しい内容は必要に応じて順に解説を加えていきますので、まず

は今回の内容を把握してもらえればと思います ('-^*)/

 

 

 

 

【定常過程・非定常過程って何?】

難しそうに思えてしまう用語ですが、今回は本当に難しめな感じになっちゃうの

ですよ (ノ_・。)

まずは意味を先に知っておきましょうか!

 

 

■ 定常過程とは?

 ・ 時間依存せず平均μ(期待値と表現されることもある)が一定

 ・ 時間依存せず分散σ^2が一定

 ・ 共分散は時間差のみに依存

 

 

■ 非定常過程とは?

 ・ 定常過程の条件を満たさない場合、全て非定常過程となる

 

 

何とも難しそうな内容です。これを理解するには時系列データに対する考え方を

理解しておく必要があります。それは、

 

 

観測している時系列データは、ある確率を背景に形成されている実測値

 

 

と理解することです。そして「ある確率を背景に形成」の部分は一般的に、

 

 

「確率過程」

 

 

と呼ばれます。言ってみれば時系列データの性質みたいなものです。

時系列データを扱う時は、「こんな性質で時系列データが形成されています」と過

程しないといけないのですねえ。そして、

 

 

確率過程によって処理の仕方が違う Σ(゚д゚;)

 

 

のです。確率過程を調べるとわかりますが多くの種類があるのですよ。その中で

定常・非定常過程は確率過程の基本となります。どんな過程なのかイメージでき

ないですよねえ。次に確率過程の例を示しますね (^-^)/

 

 

 

 

 

 

【確率過程の例】

定常過程の例としては有名な「ホワイトノイズ」があります。白色雑音とも呼ばれま

す。ホワイトノイズの性質は定常過程であるため、

 

 

・ 分散が一定

・ 隣り合う時系列データが無相関となる過程

 

 

となります。要は大変、非常に、素晴らしく不規則に変動するデータなのです。でも

分散が一定なのです。よって、ホワイトノイズのデータをフーリエ変換しますと全て

の周波数が同一の強度になるという特色があります。

対して非定常過程の例は経済関連の大半の時系列データとなります。要は上下の

トレンドがあって幅広い値をとるようなデータです。例えば株価を区間を区切って、

それぞれの区間の平均と分散を求めてみてください。そうしますと、

 

 

・ 価格帯によって平均と分散は区間毎に違う

・ 変動の仕方によっても平均と分散は区間毎に違う

 

 

と一見当たり前の結果が導かれます。こうした当たり前の結果が非定常過程と簡単

に理解すれば真逆に間違うことはないでしょう。

 

 

 

 

 

 

【定常・非定常って何に関係するの?】

これは簡単に解説できます。基本的に統計解析は定常過程であるデータに対してし

か行えないということです。非定常過程のデータに対して統計解析を施しても誤差が

大きく実用的ではないということになります。

 

 

なぜか?

 

 

それが平均・分散が一定であるかないかに関わります。基本的に統計解析は、変動

を把握する為に行いますよね?そして平均・分散・標準偏差や回帰分析などを過去の

データによって導いて数値として信頼できる区間を推定します。それを未来に当ては

めていくわけです。でも、

 

 

平均・分散などが区間によってバラツキがあるなら未来はもっとバラツクかも・・

 

 

と考えられないですか?非定常過程の場合は平均・分散が一定ではないですよねえ。

ということは、過去の統計値が将来を保障する値ではないわけで、上記で述べた不安

が常に付き纏っているのです。

対して定常過程は平均・分散が一定であるので将来にも安心して統計値を使い続ける

ことができるというわけです。

 

 

しかし  Σ(・ω・ノ)ノ!!!

 

 

定常過程は隣り合う時系列データとの相関が無いので、例え平均・分散が一定でも次

の時系列データが予測できるわけではないのですねえ。予測の部分に関しては甘くは

ないですねえ ( p_q)

ちなみに、ここまでの内容はランダム・ウォーク理論の導入部分にもなってますよ!

 

 

 

 

 

【結局何につながるの?】

非定常過程の時系列モデルとはランダム・ウォーク過程と呼ばれるものです。要は株価

とかですね。で、詳細は長くなるので後の記事にしますが、

 

 

非定常過程である時系列データのN次の階差をとると定常過程となる

 

 

とされるのですよね。これが価格に対しては、階差をベースに統計解析を行わないといけ

ない理由となります。また、今回は解説できませんでしたが、確率過程は基本的に分布が

仮定されます。例えば、定常過程の解説において良くある表現は、

 

 

平均0、分散σ^2に従う

 

 

とかです。これって標準正規分布ですよね?株価は非定常なので階差によって導か

れる定常過程は収益率をベースとすることから対数が必要になりますし、株価そのもの

の場合は対数をとることで対数正規分布が登場するわけです。

定常なのか、非定常なのかを調べる方法も知っておく必要があるのですが、

 

 

まずは階差をとる理由としての定常・非定常過程

 

 

ということを知っておけば書籍などで勉強する際に役立つと思います。もうちょっと詳しめ

で数式をベースにした解説や、非定常を見分ける単位根検定などは後々の記事で改め

て扱いますね (^O^)/

 

 

 

 

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