【後期】北海道大学 理系 | 2015年大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

【後期】北海道大学 理系 | 2015年大学入試数学

●2015年大学入試数学評価を書いていきます。今回は【北海道】北海道大学(理系)です。


いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^

国公立が試験を開始しました。同時開始なので、すべての大学を即日UP出来ませんが、今の時期は、国公立ラッシュのエントリーになると思います^^;

2015年 大学入試数学の評価を書いていきます。これが最後になると思われます。


2015年大学入試シリーズ第54弾。
国立シリーズ、第31弾。
【後期】北海道大学(理系)です。


問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


難易度の指標は、こんな感じです。


 

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。

E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。



したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。




北海道大学 理系 【後期】 
(試験時間120分、5問)


全体総評・合格ライン

昨年からやや難化。前期と比べても途中の誘導でつまづくかもしれない問題が多く、点数に結びつきにくいセットです。下手をすると完答が1番のみ、ということがありえてしまいます。





試験時間100分に対し、

目標解答時間合計は105分。(昨年は100分)


手がつく人にとっては、適量といったところです。




■各問題の概要
(絶対落とせない=1、落とすと不利=2、取れれば有利=3、取れないかも=4、まず取れない=5)


第1問は「1」。全体のセットからして、ここを落とすと絶望的です。

第2問は「3」でキー問題。(2)の変形が意外と発想力を問われており、ここで差がつく。

第3問は「3」でキー問題。焦点を極とする極方程式に見慣れていれば式変形できるが、これも

第4問は「4」。「S」を表す図形がそもそもつかみにくく、つまづいた人も多いか。


■合格ライン

1番は確実に抑える。2番、3番はどちらかをなんとか確保欲しい。4番は余裕があれば手をつけたいところ。(1)だけでも、、といいたいが、(1)ができれば図形のイメージが湧いているということなので、(2)もできる。
半完というのが難しいセットで、最低ラインは2題出来て50%強というところでしょう。









第1問・・・定積分関数の極値(B、15分、Lv.1)


ただの定積分関数です。「t」で積分し、その結果を微分して極小値を求めるだけという、チャートの基本例題にもありそうなレベルの問題で、ここは確実に得点しておきたいですね。


対数×整式なので、整式を変形して部分積分しましょう。

Principle Piece III-45部分積分の優先順位
指数=三角>整式>対数

(Principle Piece 数学III 積分法 p.9)


対数を最初に変形することはない、ということになります。


※KATSUYAの解いた感想

特にコメントなし。これは簡単すぎる。解答時間4分。







☆第2問・・・三角関数と漸化式、帰納法(BC、30分、Lv.2)


三角関数と漸化式を絡めた問題で、良問で差がつくでしょう。ポイントとなるのは、(2)です。cos(n+2)θ をn+1と1と見て加法展開すると、後半にsin sinが出ますが、こちらだけを積→和で変形するとcosだけとなります。 
(なお、前半も変形すると
cos(n+2)θに戻ってしまいます^^;)


加法展開+和積という少しテクニカルな変形が合わさっているため、生徒率は下がると思われます。

逆にここで出来た人は、ご馳走として(3)の点数がセットでついてきます。ただの帰納法です。難易度的には(2)がメインです。


Principle Piece B-22帰納法は次の場合に使える
[1] nに関する証明
[2] 結果が分かっている、推定できる

(Principle Piece 数学B 数列 p.50-57)




※KATSUYAの解いた感想

(1)は倍角で変形して瞬殺。(2)は加法展開してsin、sinの項を見て止まる。加法定理は確実に使うはず。でもどう使っても絶対sinは出る。和積なら・・お!cosだけにできるわ。よしよし。(3)は(2)の結果でいけるな^^ (2)の式変形に思考したため、解答時間19分。












☆第3問・・・2次曲線と極方程式(B、25分、Lv.2)


楕円の極方程式を利用した題材です。このように、図形の状況からして焦点が主役の2次曲線は、焦点を極とした極方程式が強いです。


演習量が少なくなりがちな2次曲線ですが、有名な手法なので知らない人にはオススメ問題です。


Principle Piece 旧C-142次曲線の焦点が原点なら、極座標表示も視野に

(Principle Piece 数学 III・旧C 原則のみ)



そこで(1)は、焦点を極とした極方程式を求めさせています。ただし、うっすらとでも、楕円の極方程式表示を覚えていないと、最後まで式変形するのは難しいかもしれません。解の公式でいったん解いてしまうというのも手です。



(2)は(1)ができれば、θから90度ずつ増加させるだけでそれぞれの長さになります。Pの位置等によってどれがどの長さかは変わるので、「いずれか」とでも書いておけばいいでしょう。和を出すだけなら、どれがどれでもかまいませんので(笑)


あとは適当に通分して適当に最小値を出せばOKです。(いいかげんに、という意味ではありません^^;) 微分でもよし、cosかsinに合わせて2次関数まで帰着出来ますので、それでもよしです。




※KATSUYAの解いた感想

久しぶりに、焦点を極にした2次曲線の極方程式みたわ^^ 知っているので、式変形は詰まることなく終了。そのまま(2)も終了。この時点で12分。(1)の変形は知らないと厳しいか?解の公式で解くと・・・ああ、これだとまだ見抜きやすいかも。








☆第4問・・・不等式を満たす存在領域とその面積(C、35分、Lv.2)


不等式を満たす(x、y)の存在領域を図示し、その面積を求める問題です。設定は実はそこまで難しくありませんが、x,y,a,b,pと文字が非常に多く、どう手をつけてよいのかわからなかったかもしれません。最初から不明だと、(1)と(2)では何がどう違うのかもまったく不明でしょう。


「a」の値に応じてb-3の定義域が変わります。定義域が変化するときの2次関数の最大、最小を聞いているだけなのです。もっと言えば、
幅が2の定義域で動くときの最大、最小です。


yの取れる範囲は、(b-3)^2の最小値~最大値なので、この間を積分すれば面積が出ます。 


そうとわかれば、ただの場合わけですね^^(1)ではこの分けが不要、(2)ではすべて必要、という違いがあることもわかります。


Principle Piece I-252次関数の最大、最小は最大5パターンをマスターする

(Principle Piece 数学I 2次関数 pp.23-26)




せっかくわかった人にとっては、これはサービス問題なので、丁寧に分けて領域を図示し、最後の面積計算も慎重に行いましょう。意外と計算量は多いので。





※KATSUYAの解いた感想

なんじゃこりゃ??文字多すぎ。ちゃんと整理しよう。まず、p=1だとして(a、b)の領域は平行四辺形。で、x、yはどうなるかというと、、もしa=0.3ぐらいだとしてb-3は ー2.7~ー0.7 で、これを2乗するから、、、あ、なんだ。ただの2次関数の最大・最小ってことね。(1)は場合分け不要、(2)は・・・全部させるんかい^^; しゅくしゅくと分けて終了。一気に出して終了。解答時間18分。














対策

対策やお勧めの問題集は、過去の批評を見てください。北大は旧7帝大の中では標準的な問題の組み合わせになっているものが多いので、量をこなすことを重点的に行いましょう。(リンクは前期のものです)



>> 2010年の北海道大学(理系)数学
>> 2011年の北海道大学(理系)数学
>> 2012年の北海道大学(理系)数学
>> 2013年の北海道大学(理系)数学
>> 2014年の北海道大学(理系)数学


以上です^^  



今回で、2015年大学入試数学の評価は終了となります。他にご要望がある場合はできる限りお答えしますが、原則として公開されている大学の前期・後期の一般科目に限ります。





>> 他の大学も見てみる





■関連するPrinciple Piece■

★ 数学III  微分法の応用 (第1問)
★ 数学III 積分法 (第1問)

★ 数学B 数列 (第2問)
★ 数学II 三角関数 (第2問)

★ 数学I 2次関数 (第4問)
★ 数学II 図形と式 (第4問)
★ 数III 積分 (第4問)






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