【後期】神戸大学 理系 | 2015年大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

【後期】神戸大学 理系 | 2015年大学入試数学

●2015年大学入試数学評価を書いていきます。今回は【後期】神戸大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^

国公立が試験を開始しました。同時開始なので、すべての大学を即日UP出来ませんが、今の時期は、国公立ラッシュのエントリーになると思います^^;

2015年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2015年大学入試シリーズ第52弾。
国立シリーズ、第29弾。

【後期】神戸大学(理系)
です。


問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


難易度の指標は、こんな感じです。


 

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。

E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。



したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。




神戸大学 理系 【後期】 
(試験時間120分、5問)


全体総評・合格ライン

難化です。5番の場合の数は前期以上に数えるのが大変で、全滅に近い可能性あり。残りの問題はすべて数学IIIからの出題で、計算力も発想力ともに要求されています。



試験時間120分に対し、

目標解答時間合計は150分。(昨年は135分)


時間オーバーです。1番、3番をおさえてあとはつまみぐいでいっぱいいっぱいとなる可能性が高いです。



■合格ラインですが、

第1問は全体のセットを考えると絶対に落とせない。計算量もまだ少ない方なので。

第2問はキー問題。
区分求積ではさみうちが出来ることが見抜ければできる。ガウス記号の扱いになれていれば解けるが、、、

第3問は慎重に1つ1つやれば出来る。最後の計算までできれば合わせておきたい。

第4問は(4)後半は難しい。(3)まではなんとか取れる。

第5問は場合の数で前期同様に穏やかな問題ではなく、時間的にも、(1)を数えていっぱいいっぱいなのでは。




合格ラインは50%(150点満点中75点ぐらい)ぐらいかと思います。半分取れれば、という感じですね。






第1問・・・微分法の応用、微分可能性と極値(B、25分、Lv.1)


微分可能の定義と、絶対値付き関数の極値を求める問題。微分可能であることの定義は、定義の中でも聞かれやすい内容なので、これは正解したいです。

(2)は(1)に従って、左方極限と右方極限が等しくないことを示せばOKです。

(3)はただの増減表で終わりです。微分可能でないからといって、極値でなくなるわけではありません。カクっと折れていても、そこは極値になります。出題者の意図はおそらくそれがわかっているかどうか、ということでしょう。不安な場合は、極値の定義も教科書等で見直しておきましょう。





※KATSUYAの解いた感想

微分可能を聞いてきた。これは割と定義を刷り込まれているはず。(3)は、、、折れてても極値かどうかを判断させるだけか。増減表書いて終了。解答時間8分。








☆第2問・・・格子点の個数と極限、区分求積(BC、25分、Lv.2)


格子点の個数を評価させ、その式に関する極限を求めさせる問題。なれている人にとってはどうってことのないパターン問題ですが、演習量がすくないと途中の誘導の式などにぎょっとするかもしれません。


途中誘導がすべて証明問題なので、答案量は増えますが、丁寧な誘導なので、1つ1つ行きましょう。(1)はガウス記号を導入すると証明しやすかったかもしれません。


Principle Piece III-12格子点の数絡みの極限は「きりのいい」2式ではさむ

(Principle Piece 数学III 極限 p.27)


(1)ができれば(2)が出来ます。(3)は(2)の途中で使った式が使えると思います。極限がどちらも区分求積になることが見抜ければ最後まで出来ますね^^







※KATSUYAの解いた感想

格子点絡みの極限ならはさみうち確定やな。最後の極限式までみて、区分求積を確信。あとはしゅくしゅくと書くだけ。これはパターンやけど、パターン問題に成り下がるまで演習してないと難しいかも。解答時間11分。










☆第3問・・・2次曲線、円と楕円、積分法(面積)(B、30分、Lv.3)


旧IIIC総合問題、という感じですが、P~Tまで順番に求めていけば、そこまで汚い数字にはならず、ただの計算問題という感じです。最初にとく前に、まずTまで出しましょう。


(1)、(2)はほぼ同時にできます。RにおけるC1の接線と、TにおけるC2の接線が完全に一致しますので、これで同時に証明できたことになります。

(3)は円、楕円の一部の積分計算が入ります。x=asinθとおいていくだけですね。





※KATSUYAの解いた感想

また数III。結構計算量多そうやな。Tまでの座標が割ときれいに出て、少し安心。(1)、(2)はほぼ同じこと言ってるような。。。同時にやればいいか。(3)は積分区間を2つに分けて積分か。引き算する面積同じになったわ。x軸とy軸で伸縮が一致してるからか。ま、いいか。解答時間18分。結構かかったな^^;









☆第4問・・・積分方程式、方程式の解、逆関数と積分(C、35分、Lv.3)


関数の正体が分からないf(x)の定積分を求める問題。途中の誘導がまたもや証明問題が多く、最後は(1)の途中で使った式も使っていかないと解ききることができず、発想力を問われる問題で難しい。


(1)は、まずxを代入してb=0、次に微分してx=0を代入すればa=1が出ます。ここは出来て欲しい。

(2)、(3)は(1)と独立に、単調増加で方程式の解がただ1つ存在することを示します。これは逆関数の存在を暗示しています。

(4)は(3)の結果から逆関数を、(1)の途中から(x)の逆関数がg(x)になることがわかれば、f(x)=y で置き換えるとただの定積分計算となります。

あまり見かけないタイプなので、少し難しかったかもしれません。




※KATSUYAの解いた感想

条件式と問題をざっと見渡す。難しそうな予感あり。(1)は瞬殺。(2)、(3)もただ方程式の解の個数を出すだけ。(1)の結果をまだ使ってないから、(4)で使うんだな。とりあえずa,bを代入しておく。途中式にg(t)の形がある。逆関数が、、、f(x)になるってことか。じゃあx=g(y)でいく。しかし途中式が汚すぎて断念。あれ、なんで?^^; えっと、、、じゃあf(x)=yにすればいいのかな。そうするとg(y)=xになるから、y:0→2π で置換できる。最後はただの定積分計算となり終了。解答時間22分。











☆第5問・・・場合の数、正五角形の頂点からなる三角形、線分の個数(C、35分、Lv.2)


前期同様、最後に場合の数きましたが、難易度は前期以上の厳しさを持っており、制限時間的にもほとんどの人が手がついていないと思われます。式でだそうと思えば出せますが、式で計算できる理由を結局日本語で長々と述べないとダメですし、基本的には地道に数えるのが一番だったと思います。

(1)は背理法でいけます。2本以下して出てないと、全部で10本以下です、AB、BAを2本で数えていますから、結局5本以下。4本しか消さないので、おかしいですね。

(2)全部数えても10通りです。対称性を考えると、割とすぐに数え終わったのではないかと思います。


(3)までは数えられそうです。ABCが三角形になっていることと、AかBかCからは対角線が3本出ることを踏まえると(DかEから出ると2こ以上残る、4本以上でても同様)、AからB,C,D、B,C,Eと出ているとき、Bから・・・・とすべて数えて、重複チェックだけ行えばOKでしょう。ただし、これで全部だと言い切れるには、赤字の部分をきちんと説明しなkればいけませんので、難しいですね^^;



(4)は(3)を活かして×5 、さらにABDなどの三角形が残ることもありますので、これも数えて終了です。



【N.B.】
K塾さんはことばによる説明で非常に簡潔に解答していますが、実際に手書きで答案にはとても書ききれる量ではない上に、ここまで簡潔に書くのは難しいです。とはいえ、私のように全調査をするにしても毎回正五角形と中に星を書いて、どの辺を消すかを書いていかなければいけません。どちらにしても、試験としては非常に厳しい問題で捨て問レベルです。試験でなければ、書きだし練習にはもってこいです。






対策

神戸大は、非常に良問が多く、過去問の演習は数学の実力を図りつつ、実力をUPするのにに役に立ちます。高3生の人も、高1、2生で数学に自信がある人も、過去問を演習していくことをオススメします。

神戸大学は50年分の過去問が書籍になっているので、こちらを検討してみてもいいと思います。

レベル的には、青チャートの内容を一通り把握しておくことが必須のレベルと言えるでしょう。Ⅲの内容を早目に終了させておくことを強くオススメします。




以上です^^  次回は、九州大学【後期】です。



>> 他の大学も見てみる




■関連するPrinciple Piece■

★ 数学III 微分法の応用 (第1、4問)

★  数学A 整数 (第2問)
★  数学III 積分 (第2、4問)
★  数学III 極限(第2問)

★  数学A 場合の数 (第5問)



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