【後期】東北大学 理系 | 2015年大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

【後期】東北大学 理系 | 2015年大学入試数学

●2015年大学入試数学評価を書いていきます。今回は【後期】東北大学(理系)です。


いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^

国公立が試験を開始しました。同時開始なので、すべての大学を即日UP出来ませんが、今の時期は、国公立ラッシュのエントリーになると思います^^;


2015年 大学入試数学の評価を書いていきます。



2015大学入試シリーズ第50弾。
国立シリーズ、第27弾。

【後期】東北大 (理系)
です。



問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


難易度の指標は、こんな感じです。


 

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。

E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。



したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。




東北大学 理系【後期】
(試験時間150分、6問)


全体総評・合格ライン

昨年から変化なしです。出題範囲もバランスが取れており、レベルも東北大としては標準レベルのものが多く、かつ後半に行くに従って難になっている流れで、受験生としては順番に取り組みやすいセットです。なお、数学Cの行列は後期も整数と入れ替わりました。



試験時間150分に対し、
目標解答時間合計は165分。(昨年は180分)


後半の2問が割と時間がかかるかもしれませんね。



■合格ラインですが、

第1問は典型的な問題では、これは落とせません。

第2問はキー問題。算数チックな問題で、中学受験経験者と非受験者で差がでる可能性がある。

第3問はどうってことはない確率だが、地道に調査できたかどうか。

第4問は演習量がすくない分野で、こちらは難しいか。

第5問はキー問題。整数対策をしっかりしていれば類題は経験済みで最後までいけると思うが、、、。

第6問は積分。式はごつく見えますが、誘導に丁寧に乗ればいけます。時間との勝負となるでしょう。


順番にといて言って、1番~3番はおさえたい。4番は飛ばしても、あとの時間で5番か6番を両方つまみぐいできそうです。

65%ぐらいですね。










☆第1問・・・2放物線の共通接線、交点の軌跡(B、25分、Lv.1)

2放物線の共通接線と軌跡の問題で、融合問題ですが、やることは典型パターンで、原則が連続して使えます。


(1)はDで瞬殺です。(2)ですが、2放物線の共通接線の場合は、次のアプローチが早いかと思われます。



Principle Piece II-90共通接線
C1における接線とC2を連立させ、D=0

(Principle Piece 数学II 微分 pp.16-17)



接点のx座標をtとおいて一方の接線を出し、それと他方が接することでDの式を使います。それを満たすような「t」が2つあればいいので、もう一度判別式をとることになります。Dのオンパレードですね^^;


(3)は交点の軌跡です。接点は(2)で作った方程式の2解となっていますので、「解と係数の関係」がもろに使えることが見えればこちらの勝ちです^^





※KATSUYAの解いた感想

接線の交点の軌跡か。あんまりなかったけど、うまく融合したな。やることは共通接線と解と係数の関係利用の軌跡の2つだな、と最初に判断。そのまま原則に従ってといて終了。解答時間11分。








☆第2問・・・領域内と円板の集合関係(B、30分、Lv.2)


いかにも高校数学っぽく書かれていますが、要は
(1)四角形の中を円が動くとき、中心はどこをうごけるか
(2)四角形の外を円が転がるとき、中心で囲まれる部分はどこか

ということになります。題意がつかめれば、中学入試レベルの問題です。(角度が分からない四角形なので算数では難しいですが^^;)


(2)の方が簡単だと思います。ころがるときですが、頂点では頂点を中心とした扇形を描きます。また、扇形をすべて足せば円1個分となります。


(1)の方が難しいでしょう。頂点の隅っこに来た場合の中心がどこにあるかを求める必要があります。軸でない2直線は垂直ですから、角っこ(4、4)の部分は簡単です。(7、0)の角っこのときは、2直線に接することを使えばいいでしょう。

さらに、出来る三角形が四角形の辺に平行であることを使えば、3:4:5だとすぐにわかります。


中学入試経験者は、このような問題はかなり多く練習していますので、おそらくきちんと正解を出してくるでしょうが、意外と苦戦するかもしれません。




※KATSUYAの解いた感想

どうみても算数^^; あ、でもすみっこのときの頂点は出せないか。だとしても、中学受験してないとやらないようなタイプの問題やから、これ結構難しいのかもしれない。数学となると、逆に答案としてまとめるのが難しいか。解答時間15分。










第3問・・・確率、サイコロの目の数(B、20分、Lv.1)


4回サイコロを投げて、その数字が方程式を満たす確率を求める問題です。何か使えそうで、何も使えません(笑)ただただ調査するだけとなります。テクニカルなことは無理。と諦め、いち早く調査を始めた人が勝ちとなります。


サイコロを4個も投げていますが、実質ab,cdの組み合わせですし、それらはどちらも同じ数しか撮りえませんので、2個の積の組みわせをまずすべて書いておけば(1)も(2)も解決します^^



Principle Piece A-7サイコロ2個は高々36通り → 全調査

(Principle Piece 数学A 集合と場合の数 pp.17-20)




※KATSUYAの解いた感想

サイコロ問題だな。(1)、(2)を見て、、、積としてありえる値をすべてかいておいた方がどう考えてもおとくだと判断し、最初に全調査。あとはそれを見ながらかけ算と足し算を繰り返す。解答時間6分。








☆第4問・・・関数方程式、導関数、不定積分(C、25分、Lv.2)

関数方程式を見て、関数を決定するタイプの問題で、少し発想よりタイプ。この手の問題では、自分で導関数を求める際に、与えられた導関数の条件をいかに用いるかが鍵となります。また、かならず導関数は定義に戻って計算する必要があります。


(1)はいいでしょう、x=y=0にしてf(0)=0を、yをーxにするとf(x)+f(ーx)=0 となります。ここだけでもかすめ取っておきたい問題です。

(2)以降は誘導が飛んでいて、難しいです。定義に従って計算するとf(x+h)ーf(x)が出てきますが、ここで(1)を使い、さらに条件式を使うとf(●)のように1式となります。 ●は汚いですが、h→0なら0に収束しますので、分母をムリヤリ●に合わせれば正解にたどり着けたと思います。

sin●/▲ のような式のときにも、●に合わせますが、それと同じです。



Principle Piece III-15sin●/▲ の極限は●に合わせる

(Principle Piece 数学III 極限 pp.39-41)

 


導関数が出れば積分すれば下の関数は出ます。1次の式のみに因数分解できる分数関数のパターンでしたね^^


Principle Piece III-55分数関数パターン3
→部分分数分解して (定数)/(1次式)の和に


(Principle Piece 数学III 積分法 p.30)




※KATSUYAの解いた感想

今年、関数方程式は初めて、かな。1年に1題ぐらい見かけるな。最初は特殊な値を入れればOKか。(2)は定義に従えばいいから、、、ん?何を変形すればいい??(1)を使って+f(ーx)には出来るが、、、きたない式だな^^; あ、でもゼロに収束するから、f’(0)=1は使えるのか。じゃあ分母をこれに合わせよう。導関数→関数の順に求めて終了。解答時間14分。










☆第5問・・・整数、整関数が整数になる条件(BC、30分、Lv.3)


複素数を係数とする2次関数において、整数(もどき)を代入したら整数(もどき)になる条件を求める問題です。今回は、実部、虚部ともに整数である集合を設定してあります(整数もどきと呼びました)が、やることはひな型のパターンとまったく変わりません。東北大はあまり整数が出ないですが、対策で差が付いたタイプかもしれません。


Principle Piece A-74多項式の整数条件 連続n整数の積を視野に

(Principle Piece 数学A 整数 pp.67-68)





(1)の前半は、f(0)、f(1)、f(ー1)も整数になるところから出発します。後半は経験がないと厳しい。1/2x(x+1)など、連続2整数の積が現れるように変形できないと難しいでしょう。


(2)はまず共役複素数をかけます。その後、実部や虚部が、やはり連続2整数の積が現れてくることがポイントです。

(3)の前半では、途中まで(1)が使えます。あと、f(i)も複素整数であることを加えると(1-i)α もせ出ます。後半は(2)を使いましょう。





※KATSUYAの解いた感想

実質、これが整数問題。「複素整数」的な感じにアレンジされているのかな。でも条件ほとんど変わらんから、やることは完全に一緒やな。原則に従って終了。解答時間15分。











☆第6問・・・定積分、不等式、極限(C、35分、Lv.3)

最後はがっつり数学IIIの積分です。積分不可能な式に対して評価を行い、その極限を求める問題で、流れとしては典型的です。誘導もあるので、時間がたっぷりれば最後まで行けるであろうレベルの問題。


(1)は単なる不等式です。差をとって微分すればいいでしょう。


Principle Piece III-40不等式は差をとって微分

(Principle Piece 数学III 微分法 pp.44-47)



(2)は(1)を使います。(1)の左辺はJnの被積分関数ーlog 2 と変形できること、(1)の右辺の分母は4より大きいことが見抜ければ目的の形が得られます。不等式の結果をヒントに、どんな評価式を積分すると得られるかを考えましょう。


Principle Piece III-68定積分絡みの不等式は両端を積分可能な関数ではさむ
[1] 積分区間や積分結果を見てもとの関数を予想
[2] 中央の被積分関数との大小関係が分かるもの

(Principle Piece 数学III 積分法 pp.66-68)


言葉にするとこんな感じですが、これは練習しないと出来ませんので、演習量で差のついた問題でしょう。


(3)はそれまでができなくてもできます。微分するだけです。(4)は(3)が使えるように敷変形します。1が、「1を0~1まで積分すると得られる」と思えれば(2)、(3)が両方使えるようになり、答えが見えてきます。







※KATSUYAの解いた感想

最後は積分か。こつそうやけど、単なる評価っぽいな。(1)は差をとって微分して終了。(2)は、右辺の形からx^n/4 を積分すればいいはずと予想。(1)の右辺と見比べ、「あ、分母4より大きいから問題ない^^」と気づき、そのまま終了。(3)は計算するだけ。(4)は、、、1も積分式に変えれば(3)を微分した形が出そうやな。ということは部分積分すればいいことになる。うまくいったので終了。解答時間19分。






対策

東北大は、前期と出題範囲や難易度をほとんど変えてこないので、前期の対策をすればいいでしょう。今年は行列のところが整数問題に置き換わっていますが、来年以降は複素数平面も代替候補に入れておいたほうがいいです。

後半は難易度が高いので、量の演習+じっくり演習をバランスよく行っておきましょう。(6:4ぐらいがいいです^^)


※詳しい対策は、過去のエントリーを参考にしてください。(前期のものです)

>> 2010年の東北大 理系 数学
>> 2011年の東北大 理系 数学
>> 2012年の東北大 理系 数学
>> 2013年の東北大 理系 数学
>> 2014年の東北大 理系 数学


以上です^^  次回は、【後期】東北大学(文系)です。





>> 今年の他の大学も見てみる


■関連するPrinciple Piece■


★ 数学II 微分 (第1問)
★ 数学I 数と式 (第1問)

★ 数学II 図形と式 (第2問)

★ 数学A 確率 (第3問)

★ 数学III 積分(第6問)

★ 数学A 整数(第5問)




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