名古屋工業大学 | 2015年大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

名古屋工業大学 | 2015年大学入試数学

●2015年大学入試数学評価を書いていきます。今回は名古屋工業大学です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^

1月下旬の順天堂大学医学部に始まった2015年大学入試数学シリーズですが、ようやく終わりを迎えてきました。毎年、この大学の評価を書くときに、「今年も終わったァ^^」と思えます。


※まだ後期ありますけどね^^;





2015年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2015年大学入試シリーズ第49弾。
国立シリーズ、第26弾。
名古屋工業大学 数学です。


問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


難易度の指標は、こんな感じです。


 

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。

E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。



したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。




名古屋工業大学 数学 
(試験時間120分、4問)


全体総評・合格ライン

昨年と変化なしです。今年はベクトルから出題がありましたが、全体的にはⅢだけの出題であるといっていいです。計算量は恒例のようにどの問題も容赦なく多く、制限時間内に処理をするにはかなりのスピードを要求されます。




試験時間120分に対し、
目標解答時間合計は135分。


難しさよりも、計算力が重視されたセットになっています。



■合格ラインですが、


第1問は基本的なグラフの問題。いろいろさせられますが、ここは押し切りたい



第2問はキー問題。(2)までの結果を(4)で活かせるかどうか。もし気づかないくても、誘導なしの漸化式として押し切れたかどうか。


第3問はただただ、計算していくだけの問題。ここもできることなら、最後まで押し切りたい。


第4問はベクトル。空間座標は出題されるので、ここは時間の許す限り答えを出して稼いでいく。最後までは厳しいか。



全体として、60%ぐらいあれば十分でしょう。




第1問・・・微積分総合、解の個数、不等式、面積(B、30分、Lv.1)


微積分総合問題です。関数は単純なので、落ち着いて計算すれば最後までできる問題です。

(1)に不等式は差をとって微分でOK。(2)は接線の本数なので、解の個数に帰着させていきます。


Principle Piece III-40不等式は差をとって微分

(Principle Piece 数学III 微分法の応用 pp.44-47)




Principle Piece II-104接線の本数は接点をおいて解の個数へ帰着

(Principle Piece 数学II 微分(1冊目) pp.8-10)


解の個数では、定数分離がいいでしょう。なお、グラフを書く際に、∞での様子を調べるのに(1)の不等式が使えます。


(3)も、0における極限では不等式が使えます。結果を使える以上、ことわりなしで(0、0)にグラフを向けるのは減点でしょう。

積分は部分積分ですね。

Principle Piece Ⅲ-45部分積分の優先順位 三角=指数>整式>対数

(Principle Piece 数学Ⅲ 積分法 p.9)




※KATSUYAの解いた感想


(1)の不等式は、この感じだとグラフの様子を調べるのに必要そうだな。(2)は接点おいて解の個数だな。a=にできるから定数分離。おお、(1)が使えた。(3)は、またグラフをかかないと。x→0の様子を調べるのに、、、また(1)使えるわ^^; うまく聞いてきたな、解答時間18分。



















第2問・・・逆関数、合成関数、漸化式と極限(BC、35分、Lv.2)


分数関数を題材に、逆関数や合成関数を求め、漸化式と絡めた融合問題。たかもしれません。前半は単なる計算に見えますが、漸化式を求める際に使えることに気づいたかどうかがポイントとなります。

(1)、(2)は計算するだけなので問題ないでしょう。(3)は、無理数の証明は背理法です。有理数の方が定義がはっきりしているからですね^^

(4)の一般項を出すのに、(2)の結果が使えます。bn=g(an) とおくと見えました。 ただし、この発想はなかなか難しいので、誘導なしの分数関数だと思って漸化式をといたほうが速かったかもしれません。

このようなときに、最初から解ける原則をアタマに入れておくのは助けとなります^^


Principle Piece B-19分数型漸化式その2 特性方程式で攻める

(Principle Piece 数学B 数列 pp.46)


本学受験者であれば知っている人も多いでしょうから、これで押し切ったかどうかが、分かれ目になりそうです。これが出来ると(5)も出来るので(配点は高くないと思いますが・・・)、差がつくでしょう。




※KATSUYAの解いた感想

合成関数に逆関数か。傍用問題集でぐらいしかやらないな。(3)はなんだ?ただの追加?(4)を見て、合成関数をうまく使う問題と判断。このタイプは初めてやな。結構言い問題だわ^^ (5)はおまけだな。 解答時間20分。









☆第3問・・・微積分総合、斜回転体、定積分計算(BC、40分、Lv.2)

最初はひたすら積分計算、後半は斜め回転体の体積の問題です。

前半の積分計算は、とにかく素早く計算するだけです。部分積分したり、置換積分したりなどありますが、ここで使えた原則は以下の通りです。


Principle Piece III-45部分積分の優先順位 三角>整式

(Principle Piece 数学III 積分法 p.9)




Principle Piece III-50三角関数の積分は次数を1次に下げてから

(Principle Piece 数学III 積分法 pp.14-16)




Principle Piece III-51(sinの式)cos、(cosの式)sin は第2置換積分の利用

(Principle Piece 数学III 積分法 pp.14-16)




後半は斜回転体の典型題で、誘導のとおり回転軸をs軸として、ds積分できるような式を作っていきますが、PQの長さだけは「s」で表すのが難しいため、結局「s」→「t」での置換を行うわけです。


最後の計算は試験問題の文章にもあるように、最初の積分計算結果を使えばOKです。書いてあるとは、えらい親切ですね^^;


※KATSUYAの解いた感想

前半。うわ、なんじゃこの大量の計算。0~πやからsinとか入ったら消えるから、そんなに計算はしんどくないけど、、、後半は斜回転体の誘導がひたすらあるだけやな。法物線とかでやるのが普通やけど、ここまで誘導があれば大丈夫やろ。解答時間26分。やはり積分計算で結構時間とられた。。。。










☆第4問・・・空間ベクトル、回転体の体積(C、40分、Lv.2)

昨年に引き続き、空間内における回転の体積です。今年はベクトルがもろに書かれていましたが、数値はあまりきれいではなさそう、というか大きいいので、計算量はみるからに膨れそうですね^^;



B出発のベクトルの情報が多いので、もちろんB基点となります。四面体問題なので、こちらの原則が思いっきり使えましたね^^


Principle Piece B-49四面体問題では、基本ベクトルの長さと内積3種で準備万端に

(Principle Piece 数学B 数列 p.63)



今回は最初から準備万端になっています^^; 従って、なんでも出せますから、「どこでも出してくれ」という姿勢にも見えるほどいろいろ聞いてきます。


(2)の垂線はこちらです。

Principle Piece B-53平面への垂線
[1] 平面上にあるので、1-s-t,s,tの係数
[2] 平面をなす2ベクトルと垂直

(Principle Piece 数学B 数列 p.75)


数値の割に、やってみると意外と係数はキレイ。


(3)は、(2)でBHが出ているので大丈夫でしょう。2乗すればいいですね^^



(4)は回転体です。Hから最も遠い点と、最も近い点を回転させたドーナツ円錐(円錐から、少し底面積の小さい円錐を引く)となることは分かると思います。

ただし、最も遠い点や近い点を出すには、さらに計算が必要。CHよりもBHの方が長いです。 また、HからBCに下した垂線(HK)の長さが最も短い距離なので、こちらも出します。AHKが直角三角形なので、AKを出せば3平方でいけます。


いくらなんでも出せるとは言え、ちょっと計算量が多いですね。。。



※KATSUYAの解いた感想

空間ベクトル、長さも内積3種もある。じゃあ何でもこいだな。(1)~(3)までは、「はいはい、何でも出しますよ^^」の気分だが、(4)では「いや、何でも出させすぎでしょ^^;」に変わる。とはいえ、ひたすら計算なので、迷いはなくカリカリすすめる。解答時間14分。












対策

名古屋工業大学は、基本的にⅢが100%です。しかし、Ⅲだけをやればいい、というわけではありません。特に立体問題では、ここ2年空間ベクトルの知識を絡めてきています。

最終的にⅢが絡むだけで、それまでにはⅠⅡABも出てきます。ⅠⅡABの基礎を早急に固め、Ⅲをやりながら、ⅠⅡABで弱い部分を発見し、ピンポイントで補強していくといいでしょう。


以上です^^  次回からは後期の試験となります。




>> 他の大学も見てみる



■関連するPrinciple Piece■


★ 数学Ⅲ 微分法の応用 (第1問)
★ 数学Ⅲ 積分法 (第1、3問)

★ 数学B 数列 (第2問)
★ 数学Ⅲ 極限 (第2問)

★ 数学B ベクトル (第4問)








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