金沢大学 理系 | 2015年大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

金沢大学 理系 | 2015年大学入試数学

●2015年大学入試数学評価を書いていきます。今回は金沢大学(理系)です。


いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^

国公立が試験を開始しました。同時開始なので、すべての大学を即日UP出来ませんが、今の時期は、国公立ラッシュのエントリーになると思います^^;


2015年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2015年大学入試シリーズ第45弾。
国立シリーズ、第22弾。
金沢大学(理系)です。


問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


難易度の指標は、こんな感じです。


 

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。

E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。



したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。




金沢大学 理系数学 
(試験時間120分、4問)


全体総評・合格ライン

昨年から変化なしです。各問題は小問に分かれており、途中までは手が使えられそうですが、全体的に文字を含む問題が多く、計算が多くなりがちなセットです。また文字が入る分、抽象性が増しており、普段通りの実力が発揮できない可能性を要所要所に秘めています。


試験時間120分に対し、

目標解答時間合計は120分。(昨年120分)

4問しかないので、時間的にはそんなに追い込まれることはありませんが、第3、4問などは抽象性も高く、考え込んでしまう可能性あり。





■合格ラインですが、


第1問はただのベクトルなので、全体を考えると落とせない


第2問は(3)まではただの計算問題。ここまではできれば落としたくない。(4)はキー問題。置き換えればほぼ一瞬なのだが、

第3問は逆関数の性質を利用した抽象性の高い問題。誘導の流れもいまいちつかみにくく、何をすればよいか分からない可能性あり。結果を利用して(3)をやることは可能だが、(3)は意外と難。


第4問は極限と積分、また極限(2)をどう(3)でいかせるか。(2)までは欲しいが、、、



1番、2番の(1)、(2)、(3)、4番(1)、(2)まで抑えて、2番の(4)、4番(3)に手が付けば第3問をまるまる捨てても大丈夫でしょう。

合格ラインは60%~65%ぐらいかと思います。






第1問・・・空間ベクトル、四面体(3辺直交型)(B、20分、Lv.2)


3辺直交型の四面体に関する、典型的な問題で、長さも3辺とも分かっていますから(うち1つは文字定数)、すでに準備は整っています。

Principle Piece B-49四面体問題は3辺の長さを内積3つで準備万端に

(Principle Piece 数学B ベクトル  p.63)


内積は3つどもゼロです。


(1)は垂直条件なので内積ゼロ、(2)は内積ゼロを示すだけです。(3)は、長さの2乗を実際に計算すれば、定数項だけが違いますので、すぐにわかります^^


全体のセットから考えて、ここは全問確保しておきたいです。


※KATSUYAの解いた感想

3辺直交型か。内積全部ゼロやから計算は楽かな。辺の長さに文字入っているけどそこまで計算は膨れない。解答時間11分。







第2問・・・微積分総合、グラフ、回転体の体積の最小値(B、30分、Lv.2)


簡単な関数を題材とした、グラフを書かせる問題と回転体の体積を求めさせる問題、そしてその体積の最小値を求める問題です。

関数は簡単でも回転体の積分は計算量が割とましますので、計算量は多め。

(1)は第2次導関数まで調べればかけます。(2)も計算するだけです。部分積分の優先順位は大丈夫ですね。


Principle Piece III-43部分積分の優先順位
三角=指数>整式>対数

(Principle Piece 数学III 積分 p.9)



(3)の回転体では、式に(2)の積分が出てきますので、大いに利用しましょう。(4)は出た値を「t」で微分する方法しても出せますが、よく見ると「t・e^t」の2次関数になっているだけなので、これを置き換えて平方完成する方が明らかに早いでしょう。





※KATSUYAの解いた感想

ただ計算していくだけだな。関数簡単でも回転体はやっぱ計算多い。(4)は置き換えに気づけたので、ちょっと計算楽になった。解答時間15分。










☆第3問・・・逆関数のグラフと交点(BC、30分、Lv.2)


逆関数との交点に関する問題で、文字になっているので抽象性は高めで、なんとなくは分かることをどのように証明するかです。また、(1)と(2)がほぼ同じようなことを言っているために、余計混乱したかもしれません。 私も、この誘導の意図は少々つかみかねます。


逆関数とわざわざ書いてあるので、(1)はy=xに関して対称であることを使えばよかったのだと思います。y=ーx+sは、その対称軸に垂直な直線と2曲線の交点ですから、これもy=xに関して対称なはずです。従って、その中点はy=x上にありますから、「求める点はy=xとy=ーx+sの交点の座標である」と結論づければ、t、uをこの段階では一切用いずに解答可能です。


そして、その流れで(2)はほぼ一瞬で両方とも導けます。一瞬で導けるだけに、答案の順番が前後しそうな誘導です。


(3)は割と難問。kの値は「分子の極限ゼロ」で出せます。そのときの極限は、kの値が、t=3をいれたときの値だと改めて気づけば、f(t)ーf(3)/t-3 と書き換えられますので、微分係数の定義に当てはめて求めることができました。言われてみれば、、、というタイプですね。







※KATSUYAの解いた感想

ん?何から言えばいいんだろう。ほぼ明らかなきがするんやけど、、y=ーx+sが対称軸と垂直やからな。まあじゃあそれを述べればいいのかな。(2)は(1)が出るとほぼ一瞬で終了。なんだこれ。なんか誘導の順番微妙な気が^^;(3)はkの値は出るも、その後悩む。式の形からして、使えるテクニックは少なそう。あ、でもkはf(3)だから微分係数の定義に持ち込めるか^^ 解答時間10分。








☆第4問・・・極限(無限等比級数の和)、積分(積分式と不等式)(C、40分、Lv.2)



文字定数入りの無限級数の和を出し、取りうる範囲やそれを積分したりと、いろいろさせられますが、題材としては良問です。




(1)はただの収束条件ですから、ー1<公比≦1 です。1には等号が入るので注意。今回は右側の不等式は成り立つので関係ないですが、答案では書かないと引かれます。


(2)は差がつきそうですが、分子は一定なので、分母がxの関数だと気づけばOKです。定義域のど真ん中が軸であることもポイントとなっています。端っこの値は汚いので代入したくありませんが、もともと(1)の左側の不等式が「=」となる値だということを利用すれば、計算はほぼ不要です。


(3)は難。S(x)自体は積分できませんので、極限値ということになっていますが、(2)が誘導となっていることに気づけたかどうかです。0~1/aではS(x)がどのような値をとるかを考えれば、実はただの挟み撃ちで済んでしまいます。不等式の両端はxを含まないため、非常に簡単な式となります。


Principle Piece III-68定積分絡みの不等式
両端を積分可能な関数ではさむ

(Principle Piece 数学III  pp.66-68)


ただし、(2)の取りうる範囲とは定義域も違いますし、「違う定義域でまた取りうる範囲を調べればいい」と気づくのは少し難しいですので、本問の正答率は低いと思われます。






※KATSUYAの解いた感想

(1)はただの収束条件。(2)は(1)の式をいじるだけ。分母を平方完成すればいいかな。(3)は詰まる。んー、分母2次式やからtanで置き換えて、、、アカンわ^^; 全消しして考えおなし。極限さえでればいいから挟み撃ちかな。ということは不等式欲しいな。(2)の不等式かな、、、うーんちゃうな。定義域が違う。あ、でも定義域変えれば範囲でるから、それでやってみるか。うまくいったので終了。これは難だな。解答時間20分。







対策

金沢大理系の問題の特徴としては、手法自体はBレベル問題ですが、文字定数などにより一般化、抽象化されているために、その問題の背景自体をある程度知っている人が強かったりします。たくさん練習をしているうちに自分なりに気づくことが一番大事です。

最初の段階では、青チャートで十分だと思いますが、そういった背景に少しでも築けるよう、量は多めにこなしましょう。入試実践演習の際には、ただの解答、解説だけなく、それに付随する【研究】などが記載されている問題集による演習が必要となります。




>> 2014年の金沢大学 理系



以上です^^  次回は、金沢大学(文系)です。







>> 他の大学も見てみる




■関連するPrinciple Piece■

★ 数学B ベクトル (第1問)

★ 数学III 微分法の応用(第2問)
★ 数学III 積分 (第2、4問)

★ 数学III 極限 (第3、4問)






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