【速報】東京医科歯科大学 | 2015年大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

【速報】東京医科歯科大学 | 2015年大学入試数学

●2015年大学入試数学評価を書いていきます。今回は東京医科歯科大です。


いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^

国公立が試験を開始しました。同時開始なので、すべての大学を即日UP出来ませんが、今の時期は、国公立ラッシュのエントリーになると思います^^;


2015年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2015年大学入試シリーズ第42弾。
国立シリーズ、第19弾。

東京医科歯科大 
です。


問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


難易度の指標は、こんな感じです。


 

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。

E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。



したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。




東京医科歯科大学 数学 
(試験時間90分、3問)


全体総評・合格ライン

昨年と変化なしです。第1問は割と穏やかな方でしたが、第2問は対称性をうまく活かさないと、かなりの答案量になってしまいます。第3問は計算量、思考力ともにハイレベルです。難易ははっきりしていますが、後半に行くにつれて得点するのは厳しいでしょう。



試験時間90分に対し、
目標解答時間合計は115分。(昨年は105分)


オーバーですが、これが普段の医科歯科大の量だと認識しておく方がいいと思います。



■合格ラインですが、

第1問は全体のセットを考えると押さえたい。

第2問はキー問題。完璧な答案は難しいと思われるが、a=1/4を場合分けに含めれたかどうかがポイント。


第3問は難しい。(1)は予想はつくが、それをきちんと出すまでの計算量は多い。(2)、(3)は曲線からはみ出る部分が結構あることに注意しないと、全滅。



第2問の方がまだましでしょう。第1問だけであればそこまで時間を取らないので、残りでどこまで答案をかけたか。ボーダーは6割でしょう




☆第1問・・・確率の最大値、不等式(B、25分、Lv.2)

確率もどきの数値の最大値を求める問題で、確率の最大値のときと同じ原則が使えます。(1)は1,1,2,2,3,3から2枚、3枚、4枚を選ぶだけなので、楽勝ですね。

(2)はそれをちょっと一般的にします。もちろん、確率の最大値のときの原則を用います。


Principle Piece A-37確率の最大値はp(n+1)/p(n)と1の大小で


(Principle Piece 数学A 確率 p.37)



(3)はさらに一般化するだけで、同じような計算をさせられます。最初に(3)で一般化しておき、(2)では10を代入するという手もありますが、たぶん2回やった人の方が多いでしょう。



※KATSUYAの解いた感想

最初はかなり典型的な問題。ちょっと約分計算はメンドクサイけど、そんなに難しくないな。(2)、(3)はほぼ同じことを聞いているに等しいが、2回やって終了。解答時間16分。










☆第2問・・・絶対値、定数入り3次関数の最大値の範囲(C、45分、Lv.3)


3次関数で定数入りの最大・最小のタイプです。増減が変わる箇所が2か所あるので、2次関数よりはるかにややこしいですが、本問ではさらに絶対値もついているので、まともにやるとかなりの場合分けになります。そこで、こちらの原則で少し答案量を減らします。


Principle Piece II-99最大・最小の候補は端っこか極値 極値は定義域に注意

(Principle Piece 数学II 微分(1冊目) pp.30-32)


最大値は、元の関数f(x)が極大、極小(絶対値によりひっくりかえると極大になるので)となるときか、定義域の端っこのうちどれかです。これを最大値の候補として、いつどれが一番大きいかを調べていくのがいいでしょう。


2次関数のようなまともな軸分けをやると大変すぎます。時間を考えても、本問はこれをもちいて答案を作成するのが吉でしょう。

|f(1)|、|f(-1)|、|f(√a)|、|f(-√a)| の4つを比べます。ただし、後者はa>0が前提です。a≦0のときは前者2つだけ比べますが、すぐですね。

またa>0でも、すぐに2つまでしぼれます。最初の境目は1/3です。0<1/3<a のときはさらに1/4が境目になります。極大値と端っこが一致するときです。
(y=x^3-3xの(-1,2)と(2,2)のようなイメージです。)


さらにa>1だと定義域に極値がはいってこないので、このときも前者2つだけを比べます。 最終的には、1/3の前後では最大値は同じなので、ここは場合分けからなくなります。



また、+bかーbかの違いは、|f(x)|にすることでy軸対称なグラフになるだけなので、最大値は一致します。これらも利用すれば、Mの式がa,bが変化するとどのように変わるかが分かります。


※なお、一番場合分けの難しい a=1/4 で分かれることは、3次関数の図形的性質を知っていればすぐに分かります。


Principle Piece II-1003次関数の図形的特徴を押さえる

(Principle Piece 数学II 微分(1冊目) pp.44 図は割愛)



※KATSUYAの解いた感想

うわー、がっつり定数入ってるし、さらに絶対値ついてるやん。かなりめんどくさそうやなぁ。これは候補の考え方でやらないと終わらないぞ。(1)はさくっと終了。(2)は候補で分けていく。原則99,100によって場合分けは1/4はすぐに分かったので、そうなるように差を因数分解し、大小判定。(3)はb<0のときのことを述べ、境目の部分で最小になることを述べて終了。これ大変過ぎだろ。解答時間30分。










☆第3問・・・微積分、媒介変数表示、準線と焦点、面積、体積(C、45分、Lv.3)


数学Ⅲがっつり融合問題です。用いられている題材は√|x|+√|y|=1 という単純な関数ですが、これが実は放物線を斜めにしたものであり、準線がy=-x、焦点が(1/2、1/2)になることを聞いてきます。



本学受験者であれば、放物線になること自体は知っているかと思いますが、焦点を実際に式で出したことはないでしょう。計算過程は非常に長く、かつうまく式変形しないとまったく見えません。原点覚悟で予想して出してもよかったでしょう。そうでないと、(2)と(3)が全滅してしまう。。。


ただし、(2)も領域を間違えた人、結構いるのではないでしょうか。曲線からはみ出るのは、第1象限だけはありません。第2象限のx軸よりの部分、第4象限のy軸よりの部分では結んだ線は曲線の外に出ます。
(Yゼミさんの解答が非常にきれな図で書かれています。コンピューターなので^^;)


面積計算自体は、積分計算と三角形にうまくわけていきましょう。領域が書けた人にとっては、(3)の体積計算はザ・計算問題なだけです。


しかし、多くの人は領域図を間違えて、出来た「つもり」になっている可能性が高いと思われます。第1象限だけ三角形、とした人結構いるのではないでしょうか。




※KATSUYAの解いた感想

√x+√y=1が全象限に展開してあるグラフってことね。(1)まあ放物線であることは分かるけど、この媒介変数なまま押し切るの?結構つらいぞ^^; 思ったより式変形の回数が多く、「こんなにやらないと1/2、1/2出ないの?」と思いながら終了。明らかにy=x上、とか使ってもいいような気も^^;  (2)は最初私も第1象限だけにしたが、「なんか簡単すぎるぞ^^;」と独特の疑問を持ち、図をできるだけ正確に書いて細かく線で結んでみる。あ、、、やっぱりまだはみ出るとこあったわ。あぶないあぶない^^; 領域を正しく書き、(3)まで終了 解答時間26分。








対策

医科歯科大の問題は非常に独特です。小問でいくつか誘導しながらも、誘導のリフトに飛び乗るにはかなりのジャンプ力を必要とします。

今年は3問中1問でしたが、Ⅲの割合も高いので、手法をとっとと習得し終えて、質を高める演習を行うとともに、医科歯科大の過去問等で独特のリフトに慣れることも必要です。

医科歯科大は50年分の過去問が収録された問題集が販売されているので、オススメ。


>> 2010年の東京医科歯科大 数学
>> 2012年の東京医科歯科大 数学
>> 2013年の東京医科歯科大 数学
>> 2014年の東京医科歯科大 数学


以上です^^  次回は、横浜国立大(理系)です。




>> 他の大学も見てみる


■関連するPrinciple Piece■

★ 数学A 確率 (第1問)

★ 数学II 微分 (第2問)

★ 数学III 積分法 (第3問)





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