【速報】北海道大学 文系 | 2015年大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

【速報】北海道大学 文系 | 2015年大学入試数学

●2015年大学入試数学評価を書いていきます。今回は北海道大学(文系)です。


いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^

国公立が試験を開始しました。同時開始なので、すべての大学を即日UP出来ませんが、今の時期は、国公立ラッシュのエントリーになると思います^^;

2015年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2015年大学入試シリーズ第37弾。
国立シリーズ、第14弾。

北海道大学(文系)
です。


問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


難易度の指標は、こんな感じです。


 

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。

E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。



したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。




北海道大学 文系数学 
(試験時間90分、4問)


全体総評・合格ライン

昨年とからやや易化。2年連続で難化しましたが、今年は戻りました。文理一部共通の数列は、文系の方が忘れがちな場合分けがあり、点数が低いかも。また、ベクトルは理系でもきちんと論証するのは時間がかかる。確率は理系と完全に別。



なお、昨年と構成、出題分野がまったく同じで、理系とも番号と分野が第2,3,4問で一致しています。



試験時間90分に対し、

目標解答時間合計は95分。(昨年は100分)


第3問以外は20分で見ています。第3問の論証はそこそこで、求積問題で点数を稼いでいきたい。



■合格ラインですが、

第1問キー問題。(2)までは出来る。PQやRSの長さは、慣れていないと膨大な計算を前に挫折する。

第2問は数列で、典型的な漸化式問題だが、p=1のときだけは階差数列になるなど、場合分けを忘れがち。ここの配点によってはキー問題。

第3問は、ベクトル。本大学の文系のベクトルは毎年割と難しいですが、今年もやや難で、論証は理系にも厳しい。

第4問は、確率。あまり難しくはないので出来れば取りたいが、(2)はキー問題。



キー問題が多めですが、第1,2,4問だけに焦点をしぼれば時間的には完全解答可能。最低2問取り、残りは部分点狙いで3完弱が理想。60~65%ぐらいでしょうか。




☆第1問・・・放物線、接線、弦の長さ(B、20分、Lv.2)


2つの放物線との交点を結ぶ線分の長さに関する問題です。接線が微妙にからんでいますが、たいしたことはありません。

(1)はPQの傾きが-aと分かれば接線は出せます。(2)はその線とC2が共有点を持つ条件です。


(3)での長さの出し方が問題です。PQは座標があるのですぐに出せますが、RSはどうでしょう?交点の座標を「まともに」求めて距離公式をを使うのは、さすがに骨が折れます。ここは、(x座標の差)×√a^2+1 でうまく計算したいところです。 



※KATSUYAの解いた感想

順番に計算するだけ。(3)はPQはまあすぐに出るな。RSは、交点が汚いから差で計算し、=として方程式を解く。あれ、「a」で正でいいんだっけ?まあいや2乗するから同値関係保たれるわ。解答時間7分。








☆第2問・・・数列(漸化式)(AB、20分、Lv.2)


昨年同様に、2番は漸化式の典型的パターンで、誘導もあります。ただし、(2)ではp=1の場合だけ別に計算しなければいけないことに注意。結構忘れがちですが、等比数列の和の計算で最初にやる公式ですから、難易度が上がっているわけではありませんので、「AB」判定です。


Principle Piece B-12pa(n)+c^n 型漸化式
→ p^(n+1)で割って階差型へ

(Principle Piece 数学B 数列 pp.34-35)



※KATSUYAの解いた感想

理系と同じタイプの漸化式。こっちはちゃんと一般項聞いている。等比数列として和を出すときに分母を見て、「p≠1とか問題文にあったっけ?」と確認。ない。ということは場合分けして出す。ここでひっかけてきているかな。解答時間8分。













第3問・・・平面ベクトル(円と直線)(B、35分、Lv.2)


今年もベクトルが3番。「北大文系のベクトルがまあまあ難しい」という流れも引き継がれました^^; 

(1)は条件をそのまま式にすれば出てきます。OAとOPやOQとOBが垂直であることは使いましょう。

今年の難しいところは、(2)以降。見た目的には明らかなのですが、それを言葉や図できちんと説明できるか、という部分です。実は最初に座標設定しておけばそういったことは考えずにクリアできたのですが、この図の設定ではあまり座標設定しないでしょう。


また、(3)では、(2)の場合だけを使ってはいけません。∠OABが鈍角の場合だってあり得ますから、それも述べたうえで示す必要があります。図でやると、(2)だけで場合分けが2通り要りますから、(3)では4通り必要となります。ちょっときびしめです。






※KATSUYAの解いた感想

今年も、文系の方がベクトルがムズイ(汗) 入れ替えればいいのに、じゃなくてもはや「入れ替えろよ!」の気持ち。最初に図で攻めたので、私は4通りきちんと図を示して全ての場合で言えることを説明。最初に行った式変形は踏襲できるので、「同様に」を多様してエコに。解答時間18分。












☆第4問・・・確率、トランプカードの並べ替え(B、20分、Lv.2)


今年も4番が確率。結局全問、構成が昨年と変わらずでした。カードの並べ替えですが、トランプである必要は特になく、枚数が多いため計算量だけが膨れる問題という印象です。

(1)は、「隣り合う確率」として出します。意図的に、これに気づきにくいような表現になっていますね。



Principle Piece A-11隣り合うならカタマリにして並べ替え、カタマリ内で並べ替え

(Principle Piece 数学A 集合と場合の数 p.26)



(2)はちょっと難易度が上がりますが、良問です。まず、2枚ずつへの分け方が3通りです。その2枚ずつは隣り合ってはいけないので、先に48枚並べてから、間と両端に入れます。 入れ方は順番を考慮します。入れてから、各カタマリ内で並べ替えればOKですね^^  




※KATSUYAの解いた感想

経路の問題か。2区間に着目するパターンは、少し時間はかかるだけで、やることは決まっている。経路はみな確からしいことが前提なので、そのまま計算。解答時間9分。






対策

対策やお勧めの問題集は、過去の批評を見てください。北大は旧7帝大の中では標準的な問題の組み合わせになっているものが多いので、量をこなすことを重点的に行いましょう。

>> 2010年の北海道大学(文系)数学
>> 
2011年の北海道大学(文系)数学
>> 2012年の北海道大学(文系)数学
>> 2013年の北海道大学(文系)数学
>> 2014年の北海道大学(文系)数学


以上です^^ これで、旧7帝大はすべて終了しました。 
回は、一橋大です。




>> 他の大学も見てみる




■関連するPrinciple Piece■

★ 数学II  微分 (第1問)

★ 数学B 数列 (第2問)

★ 数学B ベクトル (第3問)

★ 数学A 確率 (第4問)




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