【速報】北海道大学 理系 | 2015年大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

【速報】北海道大学 理系 | 2015年大学入試数学

●2015年大学入試数学評価を書いていきます。今回は北海道大学(理系)です。


いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^

国公立が試験を開始しました。同時開始なので、すべての大学を即日UP出来ませんが、今の時期は、国公立ラッシュのエントリーになると思います^^;

2015年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2015年大学入試シリーズ第36弾。
国立シリーズ、第13弾。
北海道大学(理系)です。


問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


難易度の指標は、こんな感じです。


 

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。

E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。



したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。




北海道大学 理系数学 
(試験時間120分、5問)


全体総評・合格ライン

難易度は昨年と変化なしです。Ⅲからの出題が2題、残りが数列とベクトル、確率ですので、ⅢABからの出題。Ⅱがありませんでしたね^^; 新課程のみの範囲である条件付き確率を出題し、旧7帝大では唯一の出題。





試験時間120分に対し、

目標解答時間合計は125分。(昨年は130分)


第1問と第5問のⅢの計算量は多少多め。です。




■合格ラインですが、

第1問はキー問題。意外と式がややこしく、微分した式をきちんと整理でき、増減を正しく調べられたかどうか。

第2問は典型的な漸化式。誘導がなくても行ける。(2)も取りたい。

第3問もごく普通のベクトル。文字ばかりだが、原則をそのまま使えばいける。

第4問は基本的な確率の問題で、条件付き確率も基本。絶対落とせない。

第5問はキー問題。(1)は有名な式だが、(2)以降は第1問同様、処理力が問われる。


第2,3,4だけであれば時間的には余裕があるので、残りでどちらかを完成させれれば安定。合格ラインは65%~70%ぐらいかと思います。





☆第1問・・・微分法の応用、接線、極値(B、25分、Lv.1)


2曲線の共通接線の問題です。片方の接点が変わったときに、もう片方も接する条件を「t」で表す問題ととらえられます。接点も与えられています。

(1)は、C1における接線がC2と接する条件です。C2はただの放物線ですから、D=0で解決です。 意外と気づきにくい?

(2)は(1)の増減を調べて極小値を求める問題ですが、式がちょっと複雑で、うまく因数分解しないと増減表がかけません。また、t=-1の前後では増減が変わらないことを見ぬくこともポイント。t=-1では、2つの因数がゼロになるからです。


※KATSUYAの解いた感想

ただの増減問題ってことね。(1)は接線だしてD=0で終わりかな。(2)はこれを微分すればいいと。・・・結構複雑か、と思うも、意外とキレイに因数分解できた。t=0はtしか符号かわらないな。t=-1は、、、おお、2つ変わるからここは極値なしか。制限時間12分。







第2問・・・数列、漸化式、不等式の成立条件(B、20分、Lv.2)


典型的な漸化式の問題で、置き換え方も与えられているので、(1)は落とせません。こちらの原則です。

Principle Piece B-12a(n+1)=pa(n)+c^n 型
→ 両辺をp^(n+1)で割る

(Principle Piece 数学B 数列 pp.34-35)


(2)では、とりあえずa3≧a2、などを必要条件として見ていきます。それが十分条件であることを示します。

p倍して1たすか、p倍して1引くかして元の数字より大きいかどうか、ということなので、元の数字が小さい時の方が条件は厳しそうなことからも、まず小さい数字で試そう、と思うポイントです。




※KATSUYAの解いた感想

この漸化式、理系なら誘導いらないのでは?てか、元の数列きいてないし。。。(2)は必要から十分へ。解答時間11分。






第3問・・・空間ベクトル、平面上の単位ベクトル、点から平面に下した垂線(B、25分、Lv.2)


(1)は、CはOAB上にあります。「O」が入っていますので、(1-s-t)の部分が消えて s、tだけで表せます。あとは「垂直」と「長さ1」で連立です。


(2)は(1)でCの座標が出ているので、また連立。(3)はこちらの原則で行きます。



Principle Piece B-53平面への垂線ベクトルは
[1] 平面上にある →係数は 1-s-t,s,t
[2] 平面をなす2ベクトルと垂直 

(Principle Piece 数学B ベクトル p.75)

点がx、y、zと全部文字なのでちょっと計算はだるそうですが、OA、OCの両方に垂直である式を立てればすっきりします。そのためのOCベクトルなわけですね。文OA、OBでやるとちょっと汚くなります。




※KATSUYAの解いた感想

普通の空間ベクトル問題。座標もあり、方針も立ちやすい。(3)は、、、文字ばっかりやから汚そうやけど、、、普通にやるしかないよな。せっかくOAと垂直なOC出してるから、OAとOCで垂直の式を作るか。解答時間14分。








第4問・・・確率、球の出し入れ、条件付き確率(AB、15分、Lv.1)


旧7帝大唯一の新課程問題である条件付き確率です。ルール自体は無駄に出し入れしていますが、玉の色が同じなら試行によって白が1つ増え、玉の色が違えば試行によって赤が1つ増えるということです。

(1)は玉の色が違うとき、(2)は「1回目同色、2回目異なる色」か「1回目異なる色、2回目同色」のどちらかで分けて計算します。袋の中身が変わるので注意です。


(3)は、基本的、典型的な条件付き確率の計算で、場合分けの一部が分子に、全体が分母に来るパターンです。傍用問題集をやっていれば十分できるレベルでした。


Principle Piece A-38条件付き確率はP(A)とP(A∩B)で計算

(Principle Piece 数学A 確率 p.32)



※KATSUYAの解いた感想

経路の問題か。2区間に着目するパターンは、少し時間はかかるだけで、やることは決まっている。経路はみな確からしいことが前提なので、そのまま計算。解答時間9分。









☆第5問・・・微積分、定積分関数(BC、30分、Lv.2)

4年連続で、5番に定積分関数問題です。北大はかなりこの手の関数が好きなようです。今年は有名な定積分が一部入っています。


(1)はその有名な式の漸化式を証明する問題です。教科書にも記載されていたりしますし、一度は経験があるでしょう。n乗絡みなので、もちろん部分積分です。


Principle Piece III-64定積分の漸化式は部分積分で攻める

(Principle Piece 数学III 積分法 pp.56~60)



(2)はf’(x)の計算が正確にできればそんなに難しくありませんが、(x-θ)のうしろの因数がちょっとウザイので、g(θ)とでもおいておくといいです。 なお、(x-t)g(t)の形は割とよく見かけますが、微分すれば「g(θ)の積分形」が残ります。

a>3/2 という意味深な条件も助かり、n=1とかなりすっきりします。



(3)はこれらを使ってただ積分するだけです。sin^2θは半角で次数あげです。整式×三角関数は部分積分です。



Principle Piece III-45部分積分の優先順位 三角=指数>整式>対数

(Principle Piece 数学III 積分法 p.9)




Principle Piece III-50三角関数の積分は次数を1次に下げてから

(Principle Piece 数学III 積分法 pp.14-16)






※KATSUYAの解いた感想

また定積分関数。毎年5番はこれやな。今年は有名式あり。(x-θ)形も有名式なので、うしろの式は置き換えておいたほうが答案書きやすいな。このまま書くとしんどそう。(3)はただの計算なのでさくっと終了。解答時間11分。






対策

対策やお勧めの問題集は、過去の批評を見てください。北大は旧7帝大の中では標準的な問題の組み合わせになっているものが多いので、量をこなすことを重点的に行いましょう。



>> 2010年の北海道大学(理系)数学
>> 2011年の北海道大学(理系)数学
>> 2012年の北海道大学(理系)数学
>> 2013年の北海道大学(理系)数学
>> 2014年の北海道大学(理系)数学


以上です^^  次回は、北海道大学(文系)です。


>> 他の大学も見てみる





■関連するPrinciple Piece■

★ 数学III  微分法 (第1問)

★ 数学B 数列 (第2問)

★ 数学B ベクトル (第3問)

★ 数学A 確率 (第4問)

★ 数学III 積分法 (第5問)




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