【速報】九州大学 理系 | 2015年大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

【速報】九州大学 理系 | 2015年大学入試数学

●2015年大学入試数学評価を書いていきます。今回は九州大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^

国公立が試験を開始しました。同時開始なので、すべての大学を即日UP出来ませんが、今の時期は、国公立ラッシュのエントリーになると思います^^;

2015年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2015大学入試シリーズ第30弾。
国立シリーズ、第7弾。
九州大学(理系)です。


問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


難易度の指標は、こんな感じです。


 

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。

E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。



したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。




九州大学 理系数学 
(試験時間150分、5問)


全体総評・合格ライン


難易度は昨年から変化なしです。数学IIIから2問+α、残りが整数と確率で、普段通りのセットと言えます。ただ、確率と整数が割と難しいので、対策済みのここから手をつけてしまうと、時間を費やしてしまった可能性があります。難易度的には昨年のようにばらつきはなく、「この問題は取れるだろう」「この問題は取れないかな」程度のばらつきです。
なお、数学Bからは一切出題されませんでした。



試験時間150分に対し、

目標解答時間合計は140分。(昨年は150分)

昨年の最後のような論証はありませんので、少し短め。しかし、めちゃくちゃ簡単な問題もありません。難易度はバランス型なので、対策をしてきた分野や、自分が得意な分野をしっかり押さえれば相性のよいセットです。




■合格ラインですが、

第1問はただの面積計算。最後は中間値の定理に気づけるか。
第2問は誘導も丁寧で、本学受験者なら完答して欲しい。
第3問は空間図形。影の問題は受験生は苦手と思われますので、他を先に。
第4問は確率。設定はシンプルですが、計算は煩雑で、規則に気づかないと時間はかかる。キー問題。
第5問の整数問題もキー問題。(1)、(2)の誘導にうまく乗れるか。




頻出の確率、整数がキー問題で、残りは数IIIからという構成。第1、2、「4か5」で3完できれば、小問もあるので、残り時間でつまみぐいしてかき集めれば65%を超えて、安定といったところでしょうか。









第1問・・・2次関数、共有点、面積、中間値の定理(B、25分、Lv.2)

数IIと数IIIの微積分総合問題です。面積は微積、関数調べは数IIIです。面積については、例の放物線と直線の面積の問題。


(1)については、0≦x≦2で少なくとも1つの解を持つ条件でもいいですが、キレイに定数分離されていますから、視覚化の方がラクでしょう。


Principle Piece I-33文字定数入りの方程式の解の個数は定数分離で視覚化

(Principle Piece 数学I 2次関数 p.45)


(2)は例の面積の計算です。交点が汚いときこそ、この計算は威力を発揮します^^

Principle Piece II-112放物線と直線の面積なら a/6(α-β)^3 で

(Principle Piece 数学II 積分 p.29)


(3)では、S2を出す必要がありますが、S2も上の原則を使って、足し引きするだけで出ます。3分割して計算すると、かなり煩雑になってしまいます。


S1=S2を方程式にするとかなり複雑ですが、問題の意図からして、求める必要はなく、ここで中間値の定理を用いればよかったわけですね。




※KATSUYAの解いた感想

数I、数II,、数IIIをうまく組み合わせた感じで、良問。それぞれで原則を使って終了。解答時間14分。




☆第2問・・・定積分と数列の和、不等式(B、20分、Lv.2)


Σで表された数列の和について、定積分で不等式評価して出す問題です。単調減少を示せ。まで問題としてあり、誘導も非常に丁寧なので、これは落とせません。

本問はこれだけ誘導があるので心配はいりませんが、いきなり(3)を聞かれても、これは解ける必要があります。(Cレベルに変わりますが) そのためには原則を知っておく必要があります。


Principle Piece III-69不等式に数列の和
→ 被積分関数を選ぶヒントに

(Principle Piece 数学III 積分法 pp.66-68)



本問では積に被積分関数の話題がありますので、間違えることは少ないですが、(3)だけであっても、左辺をみたらx(log x)^2 の積分を考える、ということは自然に出来るようにしておきましょう。




※KATSUYAの解いた感想

誘導が丁寧すぎて難易度が下がったな。これは。さすがにここまで丁寧なら落とせない。解答時間11分。







☆第3問・・・空間図形、影の面積、影の体積(C、30分、Lv.3)

空間図形の、影に関する問題です。予備校評価はそろって「標準」ですが、たぶん出来はかなり悪いと思います。 影の問題は非常に正答率が低く、苦手分野としている人が多いので、試験として出されるとつらいですね。

(1)では、yz平面に平行な平面x=k において、半円に直線が接する様子をかけばOKです。それより手前だと光が当たらないので、影になります。長さはちょろっと角度情報などを書き込めば、すぐに半径の2倍とわかります。

(2)は、(1)で与えられている領域を積分するだけです。

(3)では、(1)が使えます。同じ図で、面積を今度は求めて積分すればOKです^^



いわれればどうってことないのでしょうが、、(1)の図をかけたかどうかで、出来は大きく分かれます。




※KATSUYAの解いた感想

影問題かー。なんかありそうで見かけなかった問題。誘導はそれなりにあるが、(2)と(3)が関係ないので、おそらく(1)の図をかかないと(3)は正解できないやろなぁ。解答時間15分。









☆第4問・・・確率、玉の移動(BC、35分、Lv.2)


毎年のように出る確率で、九大は玉の移動が割と好きなようです。また、本大学のもう一つの特徴としては、確率の計算は割と「ケタ」が多いことです。十分に対策をしてこないと、途中でだれてしまいます。


(1)はいいでしょう。(2)は当然すぎて説明しづらいでしょうが、最初に偶数個赤玉が入っている以上、奇数回で赤玉がゼロになることはありませんので、それを説明すればいいでしょう。

(2)をヒントにすると、(3)は2回目、4回目、6回目、8回目にどのような状態になっているかを書きます。赤赤青 か青青青 しかありません。 確率と漸化式のときのように、遷移図を書けばかなり見通しがいいです^^


なお、たった8回なので、漸化式は不要ですし、「はじめて」青青青になる確率はこの遷移図では計算できません。地道に、どっちの状態に遷移していくのかを考えましょう。


遷移図をかけば(4)もほぼ同時に解決ですね^^




※KATSUYAの解いた感想

相変わらず、計算のケタの多そうな確率。8回ってことは、最高で6561が確定やん。(2)からして、2回、4回、6回、8回を考えればいいと思うも、最初は遷移図をかかず、赤青、青赤、が最初の3回で起きればいい などと考え、すべての場合を出して計算。分子343=7^3 を見て、「絶対何か別の方法でだせるなこりゃ^^;」と感じ、遷移図にたどりつく。おかげで(4)は楽勝。遷移図にもっと早くたどりつけていれば。。。解答時間27分。










☆第5問・・・整数、倍数、互いに素の証明、方程式を満たす素数(C、30分、Lv.2)


今年の最後は整数です。誘導は割と丁寧だとは思いますが、最後はそれを使ってもすぐに解決、とはいかず、さらに整数問題の手法を駆使していく必要があります。


(1)はいいでしょう。nに関する証明なので、帰納法が最も安全かと思われます。そう考えると、数Bから出てますね^^;


(2)はユークリッドの互除法を使えば一瞬なのですが、なんかさみしい気がしますので、一応「g」とおいて証明しておくのが無難です。



(3)は(1)、(2)ともに使います。まず、p=2はダメと言っておけば、p-1は偶数なので、(1)の出番です。さらにp-1=2n とでも置けば、因数分解で(2)の2つの因数が出ます。 互いに素といっても、片方が1になるかもしれませんので、その可能性は排除しておくことに注意。


細かいことを言い出すと完答は難しいですが、粗粗で点数を稼げるとは思います。






※KATSUYAの解いた感想

(1)、(2)はほぼ明白で証明も楽勝。(1)、なんか教科書の帰納法の導入にあった式やったきがするな^^;  おかげで、ここは1分で帰納法を使って終了。(2)はユークリッドか。まあちゃんとやっておくか。(3)は、、、まずpは奇素数を言おう。p=2を排除。これで(1)、(2)使える。p=3だとダメなので、q=3確定、代入。 どっちかが9になればいい? いや、1かもしれんな。でもp=2、3のときダメやったから、絶対どっちも2以上と断って、9と2n+1 に分解してあとはpを出して終了。整数問題は、思いつけば早いな。解答時間8分。










対策

九大は、割と標準的な問題が多いです。典型手法をいくつか組み合わせればとける問題という印象。教科書程度ではもちろん足りませんが、一通りの手法を終了させ、それらを組み合わせた入試基礎レベル→もう少し解答に時間のかかる問題集 へと勧めていけばいいでしょう。対策やお勧めの問題集は、過去の批評を見てください。

>> 2010年の九大理系数学
>> 2011年の九大理系数学
>> 2012年の九大理系数学
>> 2013年の九大理系数学
>> 2014年の九大理系数学



以上です^^  次回は、九州大学(文系)です。






>> 今年の他の大学も見てみる


■関連するPrinciple Piece■


★ 数学I 2次関数(第1問)
★ 数学II 積分 (第1問)

★ 数学III 積分(第2問)

★ 数学A  確率 (第4問)
★ 数学A 整数(第5問)
★ 数学B 数列(第5問)








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