【速報】大阪大学 理系 | 2015年大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

【速報】大阪大学 理系 | 2015年大学入試数学

●2015年大学入試数学評価を書いていきます。今回は大阪大学(理系)です。
※概要版は削除いたします。「いいね」を押してくださった方々、ありがとうございました。


いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^

国公立が試験を開始しました。同時開始なので、すべての大学を即日UP出来ませんが、今の時期は、国公立ラッシュのエントリーになると思います^^;

2015年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2015大学入試シリーズ第28弾。

国立シリーズ、第5弾。



大阪大学(理系)です。


問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、

典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


難易度の指標は、こんな感じです。


 

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。

E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。



したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。




大阪大学 理系数学 
(試験時間150分、5問)


全体総評・合格ライン

やや難化です。普段は抑え気味の第1問ですが、今年は最初から数学IIIの積分で出鼻をくじかれる可能性あり。第2問も式のごつさに圧倒されます。確実に抑えられるのは第4問のみかもしれません。場合の数はなんと阪大も難しく、東大、京大、阪大全てで確率・場合の数が難化。


昨年より小問誘導は多いので、第4問を抑えて部分点稼ぎに奔走したことでしょう。第1問(1)、第3問(1)、第5問(1)までは取り、できれば第3問は本学受験者であれば欲しいが。。。




試験時間150分に対し、

目標解答時間合計は165分。(昨年は140分)


久々に、少しオーバーしました。確率は発想寄りなので多めに時間とってあります。




■合格ライン

第1問は(1)までは欲しい。(2)は少し発想が必要。
第2問はごつく、気づかないと何をしていいのか分からない。気づけば最後までいけるので、差がつきそうだが、できない人の方が多いかと。
第3問はキー問題。本学受験者であれば抑えて欲しい。
第4問はカリカリ図をかいて計算すればなんとなかんるので、時間はかかるが抑えたい。
第5問は(1)まではなんとか。(2)は気づかないときつい。


第3、4問を抑えられれば、あとは(1)までで部分点を稼ぎにいって60%ぐらいで安心できそうです。









第1問・・・定積分と不等式(BC、30分、Lv.2)


複雑な式の定積分を評価し、極限を求める問題です。(1)は積分範囲からしても、置換積分であると見抜けるでしょう。log(1+t)の手前にある数式を「≦1」で評価すれば出ます。問題は(2)です。

(1)の誘導をどう使うかですが、評価した結果と、実際のIn の差が極限でゼロになることを言えれば、ついでに極限もでそうです。差をとるといわゆる端くれだけが残りますので、そこを評価するときに「≦log2」を使うわけです。これの使いどころを間違えると、泥沼にはまります。

(1)の式は一般には積分できませんので、今回のような評価を行います。単調性が保たれている関数では使うことも多いので、覚えておきましょう。


Principle Piece III-68定積分絡みの不等式は両端を積分可能な関数ではさむ

(Principle Piece 数学III 積分法 pp.66-68)



※KATSUYAの解いた感想

最初から割と重そうな雰囲気を醸し出してるな^^; がっつり数IIIなのね。(1)は置換積分してさくっと終了。(2)は評価したものとの差を取ればいいんだな。用いてよいと書いてある極限の形も現れ、確信。log2の使いどころを間違えなかったため、すんなり終了。解答時間14分。









第2問・・・2変数4次式の不等式(C、30分、Lv.3)


2変数関数x、yに関する4次式ですが、√も入っていて、見た目的には完全に圧倒されてしまったと思います。本番を受験している人はもちろん知るよしもないのですが、これ、文系と共通です。

従って、微分などの高度な技術は不要ですが、発想の転換をしないとたどり着かないタイプとなります。√が入っているものはすべて1-●^2 となっていますので、三角関数(あるいは三角比) のsin、cos だと思えれば勝ちです。

私は、0~180度の範囲で設定し、0以上が確実な√をsinとおくようにしました。2乗したものは半角で次数を下げていくと見えてきます。


Principle Piece II-61角度を上げると次数は下がる
角度を下げると次数は上がる

(Principle Piece 数学II 三角関数 pp.35-36)


整理してしまえばどうってことのない問題で、おそらく出題者もさくっと考えついたのでしょうが、原型ととどめていないので解くほうはたまったものではありませんね^^;






※KATSUYAの解いた感想

うわ、ややこしそうやなまた。√は1-x^2 とかばっかりやから、三角比でおこうかな。加法定理や倍角などを駆使してきちんと0~1 の形になったので、終了。かなり発想寄り問題。解答時間15分。











☆第3問・・・論理と集合、無理数と有理数の性質(BC、25分、Lv.2)


無理数に関する性質を示す問題です。(1)は教科書にもあるレベルですから、本学受験者であればただの作業レベルでしょう。

(2)は、x+y√2=0 など簡単なタイプは見たことがあると思いますが、本問は差がつきそうです。 方針としては同じです。p≠0などのときに(有理数)=(無理数)の等式が導かれてしまうことから、矛盾を導けばOK。


p√2 とあq   ^3√3 のどちらを残すかですが、後者を単独にしないと ^3√9など、新たな種類の無理数が出てしまいますね。





※KATSUYAの解いた感想

んーすんなり行きそうにみえてひねりのある、阪大タイプの良問という感じ。(1)は楽勝。(2)はも、やり方はひな型と変えずにいくとして、、、、q 3√3 を残して3乗。√2=・・・にすればいいな。いけたいけた^^ 解答時間15分。









☆第4問・・・微積分、空間図形、回転体の体積、最大値(B、35分、Lv.2)


空間上にある2つの球の和集合とx≧-1の部分の共通部分の体積です。ただの積分計算で、関数自体は数学IIですので、これは落とせないタイプ。2球の交わりは、必ず中心を通る断面を考えましょう^^



Principle Piece Ⅰ-52球を含む立体の問題は、球の中心通る平面で切る

(Principle Piece 数学Ⅰ p.39)


積分計算はすべて多項式ですので、計算自体は数学IIです。また、(2)の微分も3次関数の微分です。極値を取るxの値は汚いので、割り算して計算しましょう^^



決して簡単とは言いませんが、今年のセットではこれが一番手が付けやすいでしょう。


Principle Piece II-96f'(x)=0なるxが汚いなら、極値は割り算で次数下げ

(Principle Piece 数学II 微分(1冊目) p.24)



※KATSUYAの解いた感想

これはただ断面書いて回転体計算させるだけやから確実に取れるタイプ。しかし、ここまでは確実に、という問題がなくて結構難しいかもしれないな。計算はカリカリやって終了。私は割り算せずに極値を出しました。代入値に分数入ってないし、ー1+√3ぐらいなら、3乗してもいいかな、と。この辺は臨機応変に。解答時間15分。













☆第5問-場合の数、条件を満たす数字の入れ方(C、45分、Lv.2)


一昨年ど同様、比較的論証の必要な場合の数の問題。結論から言うと私は(1)の誘導にすっと乗ったので、そんなに難しくないと思っているのですが、予備校がそろって「難」と評価しています。受験者の皆さんはいかがだったでしょうか。


(1)は少なくとも1つは・・・があるので、背理法がいいでしょう。ともに交互にならない行列があるとすると、その交差部分で矛盾が生じることを述べればOKです。


(2)はそれを利用するのが楽だと思います。n行目が交互なら、行はすべて交互になっている必要があります。各行について、「1010・・・・」か「0101・・・」の2とおりです。列も同様です。

共通部分を差し引くのを忘れなければ、割とすんなりいけますが、「すべて交互」を思いつくのが難しいかもしれません。


なお、漸化式の考え方でもできるようです。その場合は、全総数を2つに分けて連立漸化式を作れる形にするといいでしょう。今年は求めたい総数を分けるの、多いですね^^;


漸化式を立てる際には、3点セットを忘れずに。



Principle Piece A-40n回目とn+1回目を詳しく見る


(Principle Piece 数学A 確率 pp.39~43)




Principle Piece A-41求める必要のない部分も文字で設定する


(Principle Piece 数学A 確率 pp.39~43)


本問の場合、わかりにくければ q_n をまた分けてみるといいでしょう。最後にまたくくれて、「1」と「2、3、4」で分かれていることが、意味的にも納得がいくはずです。



Principle Piece A-42対称性や、確率の和が1であることを利用して文字を減らす


(Principle Piece 数学A 確率 pp.39~43)







※KATUSYAの解いた感想

んー今年は場合の数か。相変わらずn絡みやから漸化式か?いやその前に(1)は・・・背理法でいけるな。(2)は(1)を使えば、、、、結局全部交互ってことやからな。意外と漸化式も使わずいけた。思いついただけなのか、みんなにとって簡単なのか、よく分からないが一番短い解答時間で済んだ。解答時間10分。






対策

対策、お勧めの問題集は、過去の批評をご覧ください。大阪大学は良問ぞろいなので、質を重視した演習にも時間を割くようにしましょう。原則を身につけていくことももちろんですが、多方面からの解法がある場合には、それらをすべて研究し、さまざまな解法アプローチを1問で吸収する学習を。


>> 2010年の大阪大学(理系)数学
>> 
2011年の大阪大学(理系)数学
>> 2012年の大阪大学(理系)数学
>> 2013年の大阪大学(理系)数学
>> 2014年の大阪大学(理系)数学



以上です^^  次回は、大阪大学(文系)です。






>> 今年の他の大学も見てみる


■関連するPrinciple Piece■

★ 数学III 積分(第1問)

★ 数学II 三角関数 (第2問)

★ 数学I 三角比(第4問)
★ 数学II 微分(第4問)

★ 数学A 集合と場合の数(第5問)
★ 数学A  確率 (第5問)







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