【速報】同志社大学 理工学部(理・数重視型) | 2015年大学入試数学
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早稲田慶応入試が、慶応の薬学部を筆頭に始まりました。ここから怒涛の早慶入試が始まり、次は国立になります。こちらのブログも忙しくなる・・・＾＾；
２０１５年 大学入試数学の評価を書いていきます。
２０１５年大学入試シリーズ第１５弾。
私大シリーズ、第１５弾。
同志社大学(理工)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、
典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
難易度の指標は、こんな感じです。
D・・・難関大学でも難しい部類の問題。
E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの
標準的な時間です。
したがって、
目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越える
ことも、当然ありえます。
同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、
ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。
同志社大学 理工学部
（試験時間100分、４問）
全体総評・合格ライン
数学Ⅲの微分・積分が後半に１問ずつ、第１問は数列と行列、第２問は２年連続でベクトルです。範囲としては、数学A、B、Ⅲに偏った試験です。昨年もⅢ、B、Cでしたので、ⅠⅡはあまり出ないと言えますね＾＾； 全体として難易度は、昨年から変化なしです
試験時間100分に対し、
目標解答時間合計は130分。【110分】←穴埋め考慮
（昨年は記述考慮で125分）
昨年に比べると、考え込むような問題は少なめですが、第１問の小問は割と時間かかります。従って、この部分の穴埋めにどれだけ素早く対応できたか、そして最後の第４問の計算に最後までたどりけたかどうかが、カギです。
■合格ラインですが、
第１問は（１）、（３）がキー問題。（２）はおさえる。10問中理想は７問以上。
第２問はおさえたい。極限計算はおそらく差がでない。
第３問もただの計算なので、おさえる。ここでミスると差をつけられる。
第４問はキー問題。難易度というよりは、時間との兼ね合い。割と複雑な計算をどこまで時間内にできたか。
キー問題で半分、他は抑えて65％～70％程度でしょうか。
☆第１問(1)・・・確率、サイコロ、極限（B、20分【12分】、Lv.２）
2003年の東京大学に大問として扱われていた題材です。穴埋めの方がアプローチしやすいタイプの問題なので東大の問題よりはかなり難易度が落ちますが、それでも差がつくでしょう。
サイコロの目の積は、基本的には余事象で計算するのが原則です。
（Principle Piece 数学A 確率 pp.14-15）
後半の1-pnは６で割り切れない確率のことですが、６で割り切れない＝「２または３で割り切れない」ことも利用すると、ベン図の和事象の部分を求めればいいことになります。
n→∞では、（２／３）^n が支配的になりますので、これだけ残ります。記述でちゃんと書くのは割としんどいですが、穴埋めならさくっと答えられます。
第１問(２)・・・領域内の最大・最小 楕円と直線（AB、15分【10分】、Lv.１）
不等式と領域の問題で、領域内に楕円が入っていますが、式処理自体は図形と式までの知識でOK。
領域は直線と曲線で囲まれていますので、最大・最小は「端点」と「接点」です。接点は連立して判別式Dですが、特に記述式の場合はこれが領域内に入っていることを忘れずに。
（Principle Piece 数学II 図形と式 pp.59-60）
☆第１問(3)・・・三角関数の積分、直交関数系（B、20分【13分】、Lv.１）
三角関数の積を積分する問題ですが、直交関数系と呼ばれる有名な積分で、結果を知っている人は「ケ」は計算不要で、「コ」までの流れもすぐに分かると思いますが、経験がないと時間がかかりそうです。
直交関数系と知らなくてももちろんできます。三角関数の積分は次数を下げることが基本なので、積→和で１次式の和にしましょう。最後は結局、１sinx、２sin２x、３sin３x・・・15sin15x の２乗の和だけが残り、それ以外は積分するとゼロになるということですね＾＾
（Principle Piece 数学III 積分法 pp.59-60）
さすが理工。のっけからⅢばっかり。（１）は東大の題材が小問とは。あ、でも穴埋めだと逆に楽勝だわ。（２）は余裕かな。（３）は知っていれば一瞬なので、さくっと計算＾＾ 解答時間計６分（２＋２＋２）。
第2問・・・微積総合、面積、接線、極限（B、25分、Lv.2）
標準的な微積総合問題で、積分を使って面積を出し、他の部分との免責比の極限を出します。積分計算は大したことはなく、他の部分は三角形か台形なので、積分計算も不要。極限も特にテクニカルなものは必要とせず、支配する項が判断できれば割とさくっと出来ます＾＾
最初のlog(x+1)の積分は、(x+1)'log (x+1) と見て部分積分ですね＾＾（２）では、t log(t+1) の部分のオーダーが支配的なので、この部分で分子分母を割り算してしまえばOK。
（３）の接線との交点はいいでしょう。（４）でも同様に、t log (t+1) で割れば見えます＾＾
（Principle Piece 数学III 積分法 ）
面積と極限か。たいして面積計算はややこしくないな。（２）の極限は、、、特に使えそうな技法はない。支配項で割ればいけるか。図形的にもも１／２だな。（４）もほとんど同じか。こっちは図形的には・・１かな。計算して１になったので確信して終了。解答時間１５分。
第３問・・・空間ベクトル、４点座標と四面体の体積、内積計算（B、２０分、Lv.２）
標準的な四面体の問題で、ただ条件式を数式に直すだけなので、さすがにこの問題は落とすわけにはいきません。（１）は垂直条件を３つ、式にするだけです。辺々を引いた式を２つ作れば、p、qの１次式になります。最後にrを出しましょう。
（２）は、Pから伸ばしている３辺は直交しているので、体積は簡単に出せますね＾＾
（３）は、明らかに全部ゼロになりそうな雰囲気を醸し出していますが（そう感じるのは私だけ？）、Pの成分もあるので、普通に計算すればいいでしょう。
※なお、成分計算しなくても次のようにできます。ベクトルの→は省略します。
AB・CH
＝AB・（PH－PC）
＝AB・PH－AB・PC
＝AB・PH－（PB－PA）・PC
＝AB・PH－PB・PC＋PA・PC
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
ただの成分計算やんけ。正確活迅速に、のタイプか。Pの座標は出た答えを元の式に代入して確認。OK＾＾（２）は３辺直交なので楽勝。（３）は・・・3つも聴いてるし、絶対全部ゼロやろ＾＾； 上の式のように変形し、以下同様で終了。成分計算も一応して確認。解答時間１１分。
☆第４問・・・微分法、面積の等比級数（B、30分、Lv.２）
第２問同様、微積総合と極限の問第ですが、こちらの方が難しいです。というよりは、明らかに計算が煩雑で、多少時間をとられるでしょう。
題材は（指数）×（三角）の形をしており、減衰関数です。普通は e^(-x) のことが多いですが、2^-x とすることで、微分したり積分したりすると、少し係数がややこしくなります。
全体を通してですが、cos nパイ(←nと似ているので、カタカナです＾＾；)が（－１）^n になることを式に組み込んでいきます。これを残すと減点でしょう。これと2^nパイ を合わせて、(-2)^nパイ とするわけですね。
接線、法線とx軸との交点はただ微分して式出してy＝０を入れるだけですが、係数は複雑なので慎重に。これが出れば面積は簡単に出ます。Aのy座標には絶対値を入れるのを忘れずに。｜(-1)^n｜=1 としていいわけです。
最後は当然、この手の問題では無限等比級数となります。公比の異なる２項に分けて、それぞれで等比級数の公式を使いましょう。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
最後は割と複雑な計算やったか。でも全体的に昨年よりは計算が穏やかになtった気がするな。接線、法線の交点さえ慎重に出せば、あとはいけるな＾＾解答時間１７分。
対策
第１問は穴埋めですが、レベルは標準。しかし、これをただの計算問題だと思えるレベルになる必要があります。青チャートレベルの問題を反復し、多少形がかわったぐらいでは動じずに、確信を持って計算を勧めていけるぐらになりましょう。また、IIIの演習量（特に微積と極限）は必ず確保すること。
以上です＾＾ 次回は、慶応大学(理工学部)です。
■他年度、他の大学の入試数学■
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＞＞ 昨年度の同志社大学(理工)
■関連するPrinciple Piece■
★ 数学Ⅲ 極限 （第１問（１）第２問、第４問）
★ 数学A 確率 （第１問（１））
★ 数学Ⅲ 積分（第1問（６）、第４問）
★ 数学Ⅲ 微分（第２問、第４問）
★ 数学B ベクトル （第３問）
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