東北大学 文系【後期】 | 2014年大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

東北大学 文系【後期】 | 2014年大学入試数学

●2014年大学入試数学評価を書いていきます。今回は東北大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^

国公立が試験を開始しました。同時開始なので、すべての大学を即日UP出来ませんが、今の時期は、国公立ラッシュのエントリーになると思います^^;


2014年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2014大学入試シリーズ第49弾。
国立シリーズ、第28弾。
東北大 (文系)【後期】です。


問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


難易度の指標は、こんな感じです。


 

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。

E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。



したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。




東北大学 文系数学【後期】 
(試験時間100分、4問)


全体総評・合格ライン

昨年から変化なしです。文系にしては少し難し目の問題もありますが、東北大学は毎年この難易度です。また、領域を題材とした問題が4問中2問と、少し偏ったセットです。文系といえども、全体的にあなどれないセットとなっています。第3問の場合の数は文理共通でいたが、理系でも正答率が低そうな問題でした。




試験時間100分に対し、
目標解答時間合計は115分。 

どの問題も一癖あるため、下手するとどれも完答できないということも有り得ます。全問答えなくても、なんとか1つか2つは完答までたどり着きたいところです。


第1問 (キー問題)
1つ目の領域の問題ですが、意外と一筋縄ではいかない問題で、因数分解に気づけたかどうか。


第2問 

空間ベクトルで、題材は理系のものと似ていますが、こちらのほうが大きくラク。ここは確保したいところ。


第3問 
文理共通ですが、地道に調査しなければいけないタイプで、過不足が出やすく、文系には厳しいか。


第4問 (キー問題)
2つ目の軌跡の問題ですが、軌跡にたどり着くまでの方が一苦労。面積が36であるということを、原則でうまく処理できたかが分かれ目。


領域が絡む2問こそがキーです。やはり難関大文系は領域ですね。



第2問完答、第1問、第4問の最低1つは確保し、60%を目指していきたい。











第1問・・・指数・対数(対数不等式)、領域(BC、30分、Lv.2)

見た目からして複雑そうですが、やはり複雑な対数不等式(笑)。対数の中身は出来れば積の形がいいのですが、和差の形になっているため、詰まってしまった人も多いかもしれません。

まずは、log_10 を外すことですね。そうすると、logの中身≧1 となります。 10^xや10^yが多いので、X,Yとでも置くと見やすかったかもしれません。また、不等式は分数なので、分母は払いましょう。

その結果、因数分解ができることが見えればこちらの勝ち。何も思えなければ、この問題はアウトとなります。
対数の中身は出来れば積の形がいい と、常に意識しているかどうかが、カギとなります。


やること1つ1つは、たいしたことないことがわかると思いますが、うまく合わさって適度な難問となっています。領域の式も積の形をしているので1つ飛ばしに塗り
絵ですね^^

Principle Piece Ⅱ-52積の形の領域は、1つおきに塗り絵する

(Principle Piece 数学Ⅱ 図形と式 pp.55)


※KATSUYAの解いた感想

んーと、logの中身がたし引きでは困るな。因数分解できんのかな? とりあえず基本的なことは全部やろう(置き換え、分母払う)。あ、見えた^^;  意外と難しいかも。解答時間11分。







☆第2問・・・空間座標(平面と点との距離)(B、30分、Lv.2)

標準的な空間座標の問題。理系と座標が似ていますが、こちらのほうが第だいぶ簡単です。 計算は慎重に行いましょう。


(1)はMG⊥ABかつMG⊥AC により、簡単に終了しますね^^
(2)は、(1)のときと同じに見えますが、違います。きちんとMG^2を計算して出しましょう、2変数の2次関数ですが、こちらは問題ないですよね^^

Principle Piece Ⅰ-282変数の2次関数は1文字ずつ平方完成

(Principle Piece 数学Ⅰ 2次関数 pp.28-29) 


※KATSUYAの解いた感想

理系のベクトルと座標がかなり似ている^^; でもこっちのほうが全然簡単、というか傍用問題集レベル。解答時間9分。














☆第3問・・・平面ベクトル(三角形、位置ベクトル)(B、25分、Lv.2) (文理共通) 

タイルの表裏に2色を塗る方法です。裏返し、回転を考慮する必要が有り、地道に調べたもの勝ちといったタイプです。

全部書き出しても、たかだか64通りですから、「調べよう」という発想にいってほしいところですね^^

ただし、やみくもに書き出してもかぶりますから、どう数えるかです。赤と白の対称性を利用し、赤6=白6、赤5白1=赤1白5、赤4白2=赤2白4 ですから、あと赤3白3を調べれば効率的だったと思いますが、それでも正確に全て数えるのは少し難しいかもしれませんね。






※KATSUYAの解いた感想

割と考えさせられるな。どうやって数えようか。色の分け方で行けばある程度は対称性が使えるか、よしそれで行こう^^ 解答時間13分。











☆第4問・・・積分(面積)、領域(BC、30分、Lv.2)

本セット2度目の領域です。積分がメインですが、領域の方は直線の通過領域ということもあり、重めの問題です。



しかし、積分は原則を知っているか知らないかで、しっかり差をつけられます。その意味では、これはラッキー問題です。


Principle Piece Ⅱ-112放物線と直線 → a/6(α-β)^3 の利用

(Principle Piece 数学Ⅱ 積分 p.29)



本問の難しいところは、先に直線をy=ax+b とおいてしまうと、計算が割とややこしくなるところです。自然な発想であることはもちろんなのですが、

面積36 → (α-β)^3=216 α-β=6 が頭の中で見えれば、交点のx座標を「α」、「α+6」(←「t」、「t+6」でも何でもOK) と1文字に出来るので、一気に直線の設定がラクになります^^

これにより、ただの直線の通過領域の問題にまで変わります。tについての2次方程式と見るだけですね^^


なお、難易度は全然違いますが、拙著
Principle Piece 数学Ⅱ 積分では、放物線上の接線が軸が一致する放物線との間で作る面積が一定であるという問題を載せています^^
(p.31の例題6です)


※KATSUYAの解いた感想

原則を知っているので、「ちょっと上の放物線の下側だな」と予想。交点の差が6であることも活用。最後の領域は、実数全体を動くので、判別式で終了。解答時間9分。おそらく差がつく問題であることを考えると、やはり積分はラッキー問題^^







対策

頻出分野は、確率、積分(Ⅱ)です。確率は毎年でます。漸化式絡みも出ますので、演習量を確保しておきましょう。

ここ数年は穏やかな問題が続いていますが、2010年のような大物セットの年もありますので、量の演習+じっくり演習をバランスよく行っておきましょう。(8:2ぐらいがいいです^^)


>> 2010年の東北大 文系 数学
>> 2011年の東北大 文系 数学
>> 2012年の東北大 文系 数学
>> 2013年の東北大 文系 数学



以上です^^  次回は、九州大学【後期】です。




>> 他の大学も見てみる




■関連するPrinciple Piece■

★ 数学Ⅱ 図形と式 (第1,4問)

★ 数学B ベクトル (第2問) 
★ 数学Ⅰ 2次関数 (第2問) 

★ 数学A 確率 (第3問)

★ 数学Ⅱ 積分 (第4問)




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