東北大学 理系【後期】 | 2014年大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

東北大学 理系【後期】 | 2014年大学入試数学

●2014年大学入試数学評価を書いていきます。今回は東北大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^

国公立が試験を開始しました。同時開始なので、すべての大学を即日UP出来ませんが、今の時期は、国公立ラッシュのエントリーになると思います^^;


2014年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2014大学入試シリーズ第48弾。
国立シリーズ、第27弾。
東北大 (理系)【後期】です。


問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


難易度の指標は、こんな感じです。


 

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。

E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。



したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。




東北大学 理系数学【後期】 
(試験時間150分、6問)


全体総評・合格ライン

昨年と変わらずです。やるべきことは割とすぐに分かるレベルでしたが、第6問を筆頭に、全体的に計算量が多い問題が並び、制限時間内の解答は難しかったでしょう。



試験時間150分に対し、
目標解答時間合計は180分。

第5、6問で時間を取られます。調査が必要な第4問を取るか、計算を取るか、といったところでしょうか。


■合格ラインですが、

第1問 
最後の1次変換ですが、東北大としては簡単なので、確保したいところ。


第2問 (キー問題)

題材や内容は標準ですが、文字が絡んで計算力がものをいう問題。


第3問 
標準的な問題。計算量はまだマシな方で、誘導も丁寧なので、完答したい。


第4問
地道な調査が必要な場合の数で、受験生が苦手とする典型的なタイプ。


第5問 (キー問題)
題材は比較的ありがちな面積の問題ですが、計算は面倒。場合分けが行えたかどうかも、カギとなる。

第6問
(1)だけもらっておきましょう。(2)は計算量が多く、時間内には厳しいです。


第1、3問と最後の(1)を確保し、キー問題をどちらも取れれば、確実に大丈夫でしょう。




全体として、60%ぐらい欲しいセットですね。


第1問・・・行列(1次変換)(B、25分、Lv.2)

東北大では頻出の1次変換の問題ですが、今回は簡単な方で、最後まで与えられた条件に従って計算するだけでできるので、波に乗りたいレベルの問題です。

最後は媒介変数表示になると思いますが、媒介変数を消去する方向に持っていけば軌跡の方程式は出ますね^^


Principle Piece Ⅱ-48媒介変数表示では、媒介変数を消去する

(Principle Piece 数学Ⅱ 図形と式 p.47)



なお、軌跡の「方程式」を求めよ と言われたら、xやyの範囲まで書く必要はありませんが、「軌跡を求めよ」 と言われたら、その方程式のうちのどこを通るかまで記載する必要があります。



※KATSUYAの解いた感想

1次変換か。でも最後まで計算するだけやな。特に思考力を必要としないので、コツコツ計算して終了。解答時間10分。









☆第2問・・・空間ベクトル(平面と点の距離)(BC、30分、Lv.2)

前期第2問と同じく、空間図形です。本問の方が難しいでしょう。

(1)では、線分PQ上の点であることと、ABC上の点であることをともに数式で表せばOKですが、問題はそれがちゃんとABCの周または内部にはいっているかどうかです。


Principle Piece B-51直線と平面の交点の解法【2】
[1] 直線上→ u , 1-u の係数で
[2] 平面上→ s , t , 1-s-t の係数で

(Principle Piece 数学B ベクトル p.69~70)

s,t,uの3文字が並びますが、3成分が等しいという方程式を作ることで、連立方程式は解けます。本問は座標に文字定数aが入っているので、少し処理がメンドウです。

線分上にあるには、0≦u≦1、さらに周または内部ということで、
0≦s≦1、0≦t≦1も解かなければならず。少し根気がいります。


(2)も4次関数となりますが、微分したものが因数定理などで因数分解出来ることに気づかないと、最後まではたどり着きにくいです。




※KATSUYAの解いた感想

内部にある条件のパターンか。0と1の間を使うやつね。文字a入っているから連立は割とメンドウ。計算は必要以上に複雑だが、題材としては良問かな。解答時間14分。








第3問・・・数列、整数(格子点の個数)、極限(B、30分、Lv.2)

典型的な、格子点の個数を求める問題で、本学受験者なら落とせません。

(2)では、x=3n+1 、3n+2、3n+3 上の格子点の個数を出せばOKですね^^ 下の式のxにそのまま代入すればうまくいきます。


漸化式は階差型となりますね^^



Principle Piece B-10a_(n+1)=a_n+f(n) は階差型

(Principle Piece 数学B 数列 p.32)



(4)はおまけに近いですね^^



※KATSUYAの解いた感想

こちらは標準的。漸化式の誘導も丁寧なので、サクサク終了。誘導なくてもいい感じ。解答時間12分。






第4問・・・場合分け(塗り分け)(C、25分、Lv.2)

タイルの表裏に2色を塗る方法です。裏返し、回転を考慮する必要が有り、地道に調べたもの勝ちといったタイプです。

全部書き出しても、たかだか64通りですから、「調べよう」という発想にいってほしいところですね^^

ただし、やみくもに書き出してもかぶりますから、どう数えるかです。赤と白の対称性を利用し、赤6=白6、赤5白1=赤1白5、赤4白2=赤2白4 ですから、あと赤3白3を調べれば効率的だったと思いますが、それでも正確に全て数えるのは少し難しいかもしれませんね。




※KATSUYAの解いた感想

割と考えさせられるな。どうやって数えようか。色の分け方で行けばある程度は対称性が使えるか、よしそれで行こう^^ 解答時間13分。










☆第5問・・・面積(3次関数と放物線)(C、35分、Lv.2)

3点で交わる2曲線について、2つの領域の面積が等しくなるようなときを出す問題です。結果からいえば、3交点が等差数列的に並ばなければいけませんが、それは流石に使えないので、きちんと計算します。


計算するとなると、交点が汚いこともあり、苦労したかもしれません。
(2)では3交点の大小による場合分けもいります。計算する際は、交点をα、βとおき、対称式利用で計算を減らしましょう。


Principle Piece Ⅰ-122文字の対称式は和と積を出す

(Principle Piece 数学Ⅰ 数と式 p.26)




※KATSUYAの解いた感想

交点の大小は、、、決まらない。ってことは場合分けか。この計算2回させられるのは、なかなかメンドウなタイプ。解答時間12分。^^;









☆第6問・・・面積(媒介変数表示)(C、45分、Lv.3)

双曲線絡みの面積の問題で、2011年の東工大の後期にほぼ同じ問題があります。媒介変数で表されているところも同じです。 1/cos^3θ の積分は、経験がないとかなり厳しいですし、一度やったことがあっても、部分分数分解などはある程度結果の記憶がないと時間を取られますし、計算の過程は非常に長いです。

最後までたどりつくのは難しかったかもしれません。東工大のをといていた人は、ラッキーでしたね^^


同志社でも 1/sinθ、
1/sin^4θ などの積分が聞かれており、これらの積分は一度体系的に経験しておいたほうがいいかもしれませんね。




※KATSUYAの解いた感想

またこの積分?東工大とほぼそっくり。今年は同志社でもやったし、メンドクサいなぁ^^; まあやり方しってるから、コツコツやるだけか。解答時間18分。







対策

行列がなくなるので、来年以降の頻出分野は確率、微積分、ベクトルです。今年は出題されていませんが、積分では立体の体積や面積系統もよく出ます。大物論証系等は数年に1度ぐらい出るのですが、これの対策をするぐらいなら、他で取れる練習をするほうが効果的でしょう。

ここ数年はまだ穏やかな問題が続いていますが、2010年のような大物セットの年もありますので、量の演習+じっくり演習をバランスよく行っておきましょう。(6:4ぐらいがいいです^^)



※こちらは前期ですが、東北大は前期、後期ほぼ同じタイプです。

>> 2010年の東北大 理系 数学
>> 2011年の東北大 理系 数学
>> 2012年の東北大 理系 数学
>> 2013年の東北大 理系 数学



以上です^^  次回は、東北大学(文系)【後期】です。




>> 他の大学も見てみる


■関連するPrinciple Piece■

★ 数学B ベクトル (第2問) 

★ 
数学B 数列 (第3問) 

★ 数学A 場合の数 (第4問)


★ 数学Ⅱ 積分 (第5問)





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