【速報】東京工業大学 | 2014年大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

【速報】東京工業大学 | 2014年大学入試数学

●2014年大学入試数学評価を書いていきます。今回は東工大です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^

国公立が試験を開始しました。同時開始なので、すべての大学を即日UP出来ませんが、今の時期は、国公立ラッシュのエントリーになると思います^^;


2014年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2014大学入試シリーズ第35弾。
国立シリーズ、第14弾。
東工大です。


問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


難易度の指標は、こんな感じです。


 

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。

E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。



したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。




東京工業大学 数学 
(試験時間180分、5問)


全体総評・合格ライン

まず形式についてです。昨年まであった第1問の小問がなくなり、5問とも大問となりました。ここ数年、出題形式が連続して変化しています。

(大問4問:150分→小問集合2問+大問4問:180分→
小問集合1問+大問4問:180分→大問5問180分) 

3年前から比べると、「大問が1問増え、30分増えた」となっています。なんとなくですが、これで落ち着きそうな気がします。


出題はⅢCから3問、最初と最後のほとんどが数ⅠⅡABから、という配列でした。

難易度としては、昨年からさらに易化していると思われます。
2年連続のやや易化傾向、という流れできています。例年に比べると、すべての問題に手をつけやすく、東工大独特の「自分である程度小問を設定して段階的に解いていく」という能力をほとんど必要としないセットでした。

計算量も(多いのは多いのですが)例年に比べると減り、東工大受験者のレベルを考えると、「計算スピードさえあればどんどん点数が取れた」セットと言えます。




試験時間180分に対し、
目標解答時間合計は165分。(昨年は175分)

2年連続の試験時間内におさまる量でした。制限時間をオーバーするのが通例であることを考えると、今年はまだ穏やかです。


■合格ラインですが、

第1問 (50点以上)
整数問題。経験済みで取れることが望ましいです。


第2問 (15点以上)

(2)は議論がが難しく、(1)まで確保しておきたいところ。


第3問 (キー問題)
行列が(ちょっと)絡んだ、確率と漸化式。旧7帝大であれば対策済みですが、東工大ではこの手の確率は珍しいので、経験で差がつくか。


第4問 (15点以上)
(2)までは取れると思いますが、(3)の積分は計算手法を間違えると計算量が爆発的に増えます。


第5問 (キー問題)
3次関数に接線を次々に引いていく問題。原則を使えば、得点源確実なレベルのパターン問題ですが、それを知らないと多少時間がかかる問題。


キー問題を両方落とすと厳しいです。両方できていれば、第2問と第4問は15点ずつでもなんとか。キー問題でできなかった分、他で埋められるかどうか。180点は最低欲しいところです。200点以上が理想。








☆第1問・・・整数、倍数(B、25分、Lv.1)

式の値が整数、および4の倍数であることを証明する問題です。本問はa_nがわざわざΣで書かれていますが、とっとと計算してしまいましょう。


ある式の値が●の倍数かどうかは、まずはこの原則を使います。

Principle Piece A-55多項式が絡む整数問題は、まずは因数分解から

(Principle Piece 数学A 整数 pp.25-27)

連続2整数、3整数の積なども見落とさないようにしましょう^^

また、もしそれだけは判定できなさそうなときは、こちらです

Principle Piece A-55kの倍数であることの証明は、kで割った余りで場合分け

(Principle Piece 数学A 整数 p.21)

たとえば本問の場合、4の倍数であることを証明したくて、式をぱっとみて判定できなさそうなら、n = 4k+1、n = 4k+3 (奇数なので)の場合を両方考えてみればいいということです。

※KATSUYAの解いた感想

今年はしょっぱなから大問。連続整数の積がポイントになっている。ということは、あまりで場合分けしてもすぐ解けるから、たぶん差はつかない。解答時間9分。
















☆第2問・・・微分(不等式)(C、35分、Lv.2)

不等式が成り立つための条件を調べる問題です。(1)のときがヒントになっていますが、これを使えたかどうかがポイント。

右辺ー左辺=f(t)とおきたとき、について、(1)の場合は、f’(t)=0を満たすtがt=0(定義域範囲外)しかなく、それを満たすtでf(t)がピッタシ0となります。条件ぎりぎりです。

よって、(2)では、a=2を端っこにして、どっちか(1<a<2、2≦a)だと予想がつきます。この予想が付けば、1<a<2と2≦aで場合分けしてみるといいと分かりますね^^


しかし、f’(t)=0を議論するのに、その一部をまた微分したりするので、少しレベルが高いですね。


Principle Piece Ⅲ-32不等式は差をとって微分 → 分からなければ再度微分

(Principle Piece 数学ⅢC(原則のみ))



※KATSUYAの解いた感想

(1)は差をとって微分。因数の中に指数と整式。じゃあまた微分だな。a=2はぎりぎりだな。じゃあこれが境目になると思われる。もし1<a<2だと、ああ、極値をとるところが2つあるのね。ということはその間で不等式が成り立たないのか。なるほど解答時間18分。









☆第3問・・・行列(一次変換)、確率と漸化式(BC、25分、Lv.3)

1次変換が少し絡んでいますが、ただの確率と漸化式の問題です。1次変換は最初にちょっと関わるだけで、どんな移動かが分かれば、サヨナラです(笑)

メインの確率と漸化式ですが、東工大ではあまり扱われないので、あまり対策をしてなかった人もいるのではないでしょうか。ですので、差がついたかもしれません。

本問では、この3点セットをしっかりと活かせる良問のタイプと言えます^^

Principle Piece A-40n回目とn+1回目を詳しく見る


(Principle Piece 数学A 確率 pp.39~43)




Principle Piece A-41求める必要のない部分も文字で設定する


(Principle Piece 数学A 確率 pp.39~43)


(0、1)(0、ー1)の他にも、(1、0)、(ー1、0)に止まれます。これらの確率をおいておく必要があります。



Principle Piece A-42対称性や、確率の和が1であることを利用して文字を減らす


(Principle Piece 数学A 確率 pp.39~43)


対称性から、ほかに設定した(1、0)、(ー1、0)は同じ確率であると言えますね^^





※KATSUYAの解いた感想

1次変換にする必要があったのか。今年でおさらばだから、とりあえず付けてみた感じ?確率は原則をきちんと利用出来る良問^^ 解答時間14分。











☆第4問・・・媒介変数、積分(回転体の体積)(B、40分、Lv.2)

放物線を回転したときの曲線上の点を、媒介変数表示する問題。(1)では媒介変数で答えさせていますが、(2)を見る限り、(3)では媒介変数の積分をさせるつもりではないように見えます。実際、媒介変数で行うと計算量が爆発的に増えてしまい、少し混乱をまねく問題でした。 


y軸回転であれば、 π∫x^2 dy  が普通で、交点が2つ存在するような場合は、x^2の部分を、(大きい方)^2-(小さい方)^2 に変えればいいだけです。
実際、こっちの方が計算ははるかにラクですしね。


※KATSUYAの解いた感想

(3)は、どっちでやろうかな。(1)では t で表してるけど、(2)を聞いているならy方向積分の方がいいような気が・・・ tでやると次数あがるし、yでやろう。解答時間24分。












☆第5問・・・微積分(3次関数、接線、面積)、極限(無限級数)(B、40分、Lv.2)

3次関数に、接線を次々に引いていきます。正直、私は、「え?ラッキー問題?」と思ってしまいました。原則がおもいっきり使えて方針が一瞬でたってしまうからです。もう一つの理由は、2003年にほぼ同じネタで出題されているからです。

まず、3次関数から接線を引き、残りの交点を出すときは、こちらの原則が成り立ちます。予備校の解答では接線の方程式を求めているところがほとんどです。

しかしそんなものは必要ありませんし、おそらく予備校もこの原則で残りの交点を出しています。解答では見えないので、きちんとここで理解しましょう。本問のタイプのような問題ためにある原則です。


Principle Piece Ⅱ-913次関数の接点以外の交点→解と係数の関係でサボる

(Principle Piece 数学Ⅱ 微分(1冊目) pp.18)


最初の接線を例に取りましょう。x=1で接する線ですから、接線の方程式をy=px+q と置けば(置く必要はあります)、もとの3次関数と連立すれば、(x-1)^2(x-●)=0 となるのは目に見えています。 よって、1+1+●=ー(2次の係数)ですから、pやqなど分からなくても、 ●を出すことができますね^^

実はこれを用いると、最後まで微分すら必要ありませんし、(2)もすぐにできます。こちらの原則を知らないと、まともに3次式を因数定理などで解くのは、(2)は厳しいと思います。

面積は理系であれば、部分積分するといいと思います。極限はただのおまけに近いですね。


※KATSUYAの解いた感想

えー!?原則まるまる使うだけ?思わず、最初問題読み直した。もっとややこしいんじゃないかと。てかまたこれ?2003年にも同じネタ出してるけど。(1:16を出させる問題) 10年経ったら時効? 受験生は10年ぐらいは絶対チェックしてるぞ。ちょっと甘く見てないか。解答時間7分。







対策

東工大の問題は、例年、誘導を省いた問題が多く、今年はまだましです。すなわち、普通なら小問になっているようなものを自分で見つけ出し、自分でそれを解くという作業を行わなければいけません。

しかし今年はそれがあまりありませんでした。(第3問、第4問など)しかし、今後この傾向が続くとは考えにくいですので、今年レベルよりは高めのもので対策をとりましょう。

普段から取り組む際に、小問になっているようなものについては、その手法をよく意識し、なるべく吸収していきながら(増減を調べるのにこんな方法があるんだな、こういう立体のときは、x軸切断がラクなんだな など)、誘導なしの問題のときに、自ら編み出す演習をしていく必要があります。



前者が量をこなす演習、後者が質を高める演習です。前者を、できれば高校2年生までに(ⅢC含めて)ある程度終わらせて、後者の時間を確保していきたいですね。


今年の第5問のようなこと(ネタが同じ問題を11年越しに出題)が今後、起きないとは限りません。また、来年からは複素数平面が出ますので、2005年以前のものも10年分ぐらいチェックしておいてください。最新年から、20年分ぐらいはチェックしておきたいですね^^。

>> 2010年の東工大 数学
>> 2011年の東工大 数学
>> 2012年の東工大 数学
>> 2013年の東工大 数学



以上です^^  次回は、東京医科歯科大学(医)です。




>> 他の大学も見てみる


■関連するPrinciple Piece■

★ 数学A 整数 (第1問)
★ 数学ⅢC(原則のみ) (第2問)
★ 数学A 確率 (第3問)

★ 数学Ⅱ 微分 (第5問)




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