【速報】東北大学 理系 | 2014年大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

【速報】東北大学 理系 | 2014年大学入試数学

●2014年大学入試数学評価を書いていきます。今回は東北大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^

国公立が試験を開始しました。同時開始なので、すべての大学を即日UP出来ませんが、今の時期は、国公立ラッシュのエントリーになると思います^^;


2014年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2014大学入試シリーズ第32弾。
国立シリーズ、第11弾。
東北大 (理系)です。


問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


難易度の指標は、こんな感じです。


 

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。

E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。



したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。




東北大学 理系数学 
(試験時間150分、6問)


全体総評・合格ライン

少し難化しました。第1問から第5問は、標準~応用レベルの問題が並んでしましたが、第6問に大物の論証がきました。が、即捨てOKの問題です(裏技で押し切れます)ので、ここを無視した判断ですが、確率は見落としが出やすく、論証しにくい1次変換もあり、やや難化です。



試験時間150分に対し、
目標解答時間合計は185分。(昨年は155分)

第6問でおもいっきり時間が押し上げられています。しかし、これがなければむしろ少し余裕が出るはずなので、計算ミスや見落としの出やすい確率などの見直しに徹するのが正解でした。


■合格ラインですが、

第1問 
解の存在範囲で、これは典型パターン。確実に得点に結びつけたい。


第2問 

空間ベクトルで、そこまで難しい問題ではないので、できればここも稼ぎたい。


第3問 
今年の確率は見落としが出やすい微難問ですので、ここは(2)までは得点したい。


第4問 
東北大では毎年出てた、最後の1次変換。論証が書きにくく、差がつきそう。


第5問
(2)の出来が明暗を分けそうです。(2)ができると完答出来ますが、、、

第6問
(1)だけもらっておきましょう。(2)は捨てもんレベル。


キー問題 第4問、第5問・・・両方落とすと厳しいですが、両方取れればアドバンテージあり。


全体として、60%ぐらい欲しいセットですね。


第1問・・・微分(値の範囲)、2次関数(解の存在範囲)(B、25分、Lv.2)

簡単な微分と、解の存在範囲の問題です。直線の通過領域ではありませんが、解き方によっては東大、名大のネタに類似。ブームなのでしょうか。。。

本問は東大、名大よりはるかに簡単です。確実に得点したいですね^^
後半の計算には分数が絡み、なにげに計算は煩雑で、25分見ています。

解の存在範囲については、こちらのげんそくですね^^

Principle Piece Ⅰ-31解の存在範囲 またがないなら3条件、またぐなら1条件

(Principle Piece 数学Ⅰ 2次関数 pp.39~41)

またぐ場合と、またがない場合の両方を場合分けしてやる問題でした。



※KATSUYAの解いた感想

典型パターン。また解の存在範囲だ。もう3日で3回もといていて、なんか練習問題させられている気分。解答時間9分。




☆第2問・・・空間ベクトル、平行六面体(B、25分、Lv.2)

平行六面体を題材にした、座標を与えられた形での空間ベクトルです。

(1)はいいでしょう。DG上の点は、平面ベクトルのときと同じで、(1-s)OD+sOGでOKです。 こんなことしなくても、見て(-1、s、√6)と置ける人はおいてOK。

(2)は、平面上の点ですから、(1-s-t)、s、tの係数を置きます。y軸上とは、x=0、z=0 の点ですから、条件2つ。連立で出ますね^^

(3)は、切り口が平行四辺形であることに気づかないと難しいですが、平行な面の切り口は平行ですから、ここは気づいて得点したいところ。計算は少々煩雑です。



※KATSUYAの解いた感想

典型パターンではないが、1つ1つやることはすぐに方針が立つな。解答時間13分。




☆第3問・・・確率(玉の取り出し)(BC、30分、Lv.2)

1、1、2、2、3、3、4、4、5、5の10個の玉を取り出し、その積を吟味する問題。

確率なので、同じ玉でも区別します。ここを間違えると、本問は全滅です。気をつけましょう。確率の一番最初にやる、「同様に確からしい」から導かれる基本原則です。

Principle Piece A-25確率では、同じものでも区別して計算する

(Principle Piece 数学A 確率 pp.5~6)


(1)、(2)まではこれを理解しているとすんなり行くと思いますが、問題は(3)。取り出し方が1個づつとなっていますので、全事象は10・9・8・7・6・5 (10 P 6)です。ここを(10 C 6)としてしまうと、アウト。

また、それに気づいても、条件を満たす場合の計算には見落としが発生しやすく((1、3、4)と(2、2、3)など・・・)、完答出来た人は少なかったと思われます。

※KATSUYAの解いた感想

確率だから、同じものは区別。(1)、(2)は楽勝。(3)は、最初の3個とうしろの3個?ってことは一気に取り出さないってことか(ちゃんと頭から読めって感じですね^^;) 全事象が(1)、(2)と変わる。条件を満たす場合は、前半と後半で完全に同じ数字を取る場合以外は・・・1×4が入ってると2×2と対応することを意識し、残りをかぞえる。1×4と2×2の対応は、(2)で気づかせようとしているのか。ちょっと無理があるかな^^; 解答時間15分。




第4問・・・1次変換、領域(B、20分、Lv.2)

東北大は毎年1次変換を出してきました。最後となる今年も出しています。ただ、今年は本格的な行列ではなく、論証のしにくさだけが印象に残りました。

まず、行列Aが回転・拡大行列であることに気づかないと個の問題は厳しいです。昨年の東大の問題でまったく同じ形がありましたので、ここは気づいて欲しいところです。

拡大の要素が一切加わってはいけないことが説明できれば、あとは割とラクに論証できます。




※KATSUYAの解いた感想

行列の問題・・・ではないな、こりゃ。最後やったけど、こんなもんで終わらせてしまうか。解答時間7分。






☆第5問・・・積分(定積分数列)(B、25分、Lv.2)

標準的な定積分数列の問題です。東北大の定積分は、計算量にばらつきがありますが、今年は簡単な方です。(1)は普通に積分するだけです。

(2)は、変化するのは分子だけです。和積の公式を用いることに気づけば分母と約分でき、簡単に積分可能です。これに気づかないと、(1)止まりになりますので、ここは差が付いたと思います。


なお、(2)の答え方ですが、最後に nπ のような形で残すのか、nを4で割った余りで場合分けして答えるのか、迷うところです。予備校でも解答はまちまちなので、どちらでもよいのでしょう。



※KATSUYAの解いた感想

今年の積分はこれだかか。割と簡単。(2)は、、、一応場合分けしておこう。解答時間15分。









☆第6問・・・微分(極値、不等式)(DE、60分、Lv.MAX)

大物の不等式証明問題です。微分の操作自体は(1)のみで、みかけはごついですが、ほとんど定数項なので、割と簡単。しかし、(2)は(1)のx、aに何を代入し、証明すべき敷はどう変形すればいいのか、全く検討もつかないレベルです。確実に捨てもんでした。

nに関する証明ですので、こちらの原則を用いることはほぼ確定なのですが、本問では焼け石に水「滴」 程度にしかなりませんでした。


Principle Piece B-22nに関する証明は、数学的帰納法の利用

(Principle Piece 数学B 数列 pp.50~57)



なお、(2)は、n個の相加平均・相乗平均の特別なバージョンです。それに気づけば、それを証明することで(1)を全く無視して解くこともできます。



※KATSUYAの解いた感想

(1)は楽勝。(2)については、、、、私は結局相加平均・相乗平均で逃げました^^; その後、40分ほど試行錯誤し、ようやく不等式の利用にもたどり着きましたが、







対策

行列がなくなるので、来年以降の頻出分野は確率、微積分、ベクトルです。今年は出題されていませんが、積分では立体の体積や面積系統もよく出ます。大物論証系等は数年に1度ぐらい出るのですが、これの対策をするぐらいなら、他で取れる練習をするほうが効果的でしょう。

ここ数年は穏やかな問題が続いていますが、2010年のような大物セットの年もありますので、量の演習+じっくり演習をバランスよく行っておきましょう。(6:4ぐらいがいいです^^)


>> 2010年の東北大 理系 数学
>> 2011年の東北大 理系 数学
>> 2012年の東北大 理系 数学
>> 2013年の東北大 理系 数学



以上です^^  次回は、東北大学(文系)です。




>> 他の大学も見てみる


■関連するPrinciple Piece■

★ 数学Ⅰ 2次関数 (第1問) 
★ 数学B ベクトル (第2問) 
★ 数学A 確率 (第3問)
★ 数学B 数列 (第6問) 



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