東北大 理系 数学 (後期)| 2013年大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

東北大 理系 数学 (後期)| 2013年大学入試数学

●2013年大学入試 東北大(理系)後期の数学をUPいたします。


いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^


2013年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2013大学入試シリーズ第46弾。
国立シリーズ、第24弾。
東北大 理系 数学(後期)です。


問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


難易度の指標は、こんな感じです。


 

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。

E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。



したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。




東北大 理系 数学(後期)  
(試験時間150分、6問)


全体総評・合格ライン

昨年の後期と、難易度の変化はありません。難易がわりとはっきりした問題で、文理共通の3つは手が付き、理系の問題は割と難しい印象です。


試験時間150分に対し、
目標解答時間合計は165分。

分量は少し多め。確実に解けるところをミスなく解き、残り時間でどこまで解けるか、がカギでした。


■合格ラインですが、


第1問
三角関数と方程式の問題。東北大受験者なら経験済みのはず。θまで出せたかどうか。。。


第2問
ベクトルの問題。文理類似で、計算はメンドウだが、典型問題なので押さえる。

第3問 
2つの双曲線の交わり問題。こちらはむずかしめ、(2)まではなんとか押さえたい。


第4問
典型パターンの確率。これは押さえるしかありません。



第5問
数列と極限。気づけばすぐにできるはず。和の計算を厭わずに押さえていきたい。



第6問
本セット最難問。捨てるならここでしょう。手法は見ますが、問題としては目新しく、厳しいと思います。


文系とはいえ、このレベルであれば70%ぐらい欲しいところです。


☆第1問・・・三角関数、方程式(BC、25分、Lv.2)

方程式の解を利用し、18°系統のsin、cosを求める問題でした。問題文の誘導を見ていると、文字のままいじくりたくなりますが、実際に解を出してしまう方が、(2)までは一瞬で解けたと思います。

(3)ですが、解と係数の関係を用いて解いてもいいですし、(2)から、cos4θも解になるはずなので、それがcosθかcos2θ のどっちかに一致しないとダメ という議論でもいけます^^

(4)は、ひたすら90-θ、 180-θ の相互関係を用いるのみです。おまけに近いですが、意外と出来は悪いかもしれません。

なお、18°、36°系統の三角比の求め方は、きちんと押さえておくこと。

Principle Piece Ⅱ-6218°、36°のsin、cosの求め方
[1] 36°、72°、72° の三角形を利用
[2] 5θ(90°)=2θ+3θに分けて数式処理

(Principle Piece 数学Ⅱ 三角関数 p.37~38)


本問は、3つ目の手法として押さえておく価値がありますね^^


※KATSUYAの解いた感想

(3)は・・・解と係数の関係でもいけそうやけど・・・(2)を聞いてるならcos4θでいくか。解答時間9分。



第2問・・・ベクトル(B、25分、Lv.2)

正四面体を題材にした問題。(1)は、平面上+直線上で行けますね^^

今回は、先に平面上にあることを用いるほうがいいでしょう。その上で、BC上にあるなら、OAの係数ゼロ、OBとOCの係数たして1 を条件にすればOK。


(2)は、内積が絡む問題です。正四面体がらみは、長さと内積の6種はすぐに出せますし、数値も2種類なのでラクですね^^

この分野の計算(長さ、2乗関係)は分数がどうしても絡むので、慎重に行いましょう。

Principle Piece B-49四面体問題 → 長さ+内積3種で準備万端に

(Principle Piece 数学B ベクトル p.63)



※KATSUYAの解いた感想

分数の計算が結構めんどくさい・・・数値は以外にきれい。解答時間12分。



第3問・・・双曲線、共有点条件(C、30分、Lv.2)

双曲線と直線の共有点に関する問題です。2次曲線との共有点の個数は、間違いなく判別式の出番ですね^^

(2)は少し気になるところですが、1点で「交わる」条件と書いてあるので、おそらくせ「接する」ときは入らないのでしょう。


もし(2)で「接する」を入れてしまうと、(3)は割とメンドクサイです。問題文としては不備と言われても仕方がない。。。



※KATSUYAの解いた感想

(2)・・・接するときは?交わるって書いてあるからなしかな。(3)もう一度同じことやるのか。割と手間のかかる問題やな。解答時間14分。



☆第4問・・・確率、漸化式(B、20分、Lv.2)

典型的な確率と漸化式のパターンで、文系との共通問題。原則はこの3セットです。飽きてきましたかね^^;


Principle Piece A-40n回目と(n+1)回目を詳しく見る

(Principle Piece 数学A 確率 pp.39~43)




Principle Piece A-41必要のない確率もq_nなどと置いてみる

(Principle Piece 数学A 確率 pp.39~43)


本問に関しては、すべて文字が置いてありますので、やさしいですね^^


Principle Piece A-42対称性、確率はたすと1
→ 文字を減らしていくことを意識

(Principle Piece 数学A 確率 pp.39~43)


本問は、これに余裕で当てはまりますので、典型問題として落とすことはできません。



第5問・・・数列、極限(B、25分、Lv.2)

和に関する式の与えられている問題。和のときの原則はこれですね^^

漸化式は漏れなく原則があります。

Principle Piece B-16Snとanの漸化式 → an=Sn-Sn-1

(Principle Piece 数学B 数列 pp.38~39)


(2)ですが、級数はまず部分和を出しましょう。

Principle Piece Ⅲ-9級数は部分和で極限をとる

(Principle Piece 数学ⅢC(原則のみ))



また、和については、(等差)×(等比) の形ですから、こちらの原則です。

Principle Piece B-4(等差)×(等比)は S-(公比)S を取る

(Principle Piece 数学B 数列 p.20)


計算は、慣れておかないと時間かかります。 練習あるのみ!

原則さえ適用できれば、確実に解ける問題でした。


※KATSUYAの解いた感想

(2)答えからして合ってそうになかった(笑)が、合っていて安心。 解答時間7分。



☆第6問・・・微積分、面積、最小値(CD、40分、Lv.2)

直角二等辺三角形と円の共通部分の面積に関する問題。すんごく単純な設定ですが、意外と骨が折れます。というより、本セットダントツの最難問です。手をつけて詰まった人も多いかもしれません。

まずは、円と被らない場合、円を完全に含む場合、中途半端にかぶる場合で場合分けをします。ここまではいいと思います。

問題は、3つ目。面積を求める際には、こちらの原則を使います。

Principle Piece Ⅲ-64体積でt=cosθへの置換積分→図形上でθを探す

(Principle Piece 数学ⅢC (原則のみ)


これを使うには、私の書いた原則の表現が不十分だったです。円と円、あるいは円と直線で囲まれた部分は、角度を自分で設定しないと一般的に求めることはできません。

この原則を使う問題は、断面積を積分することが多いため、上のようは表現としましたが、今回はまさかの微分問題での利用。目新しいですが、これを皮切りに(難関大で)流行る可能性があります。

なお、この原則を使った場合は、積分計算は出てきませんね。


※KATSUYAの解いた感想

角度設定やけど、それを微分するパターンか。置換積分パターンならよく見るけど。これは東北大、あっぱれ。 解答時間22分。





対策

基本的には、前期と同じ対応をしてもらえればOKです。難問ももちろん出ますが、まずは原則問題を絶対おさえられるような(計算ミスもなしで)実力を身につけることです。

その上で、難問対応として、じっくり考える演習を行うといいでしょう。順番を間違えると、あまり意味がありません。


以上です^^  次回は東北大 文系(後期)となります。




>> 他の大学も見てみる


■関連するPrinciple Piece■

★ 数学Ⅱ 三角関数 (第1問)
★ 数学B ベクトル    (第2問)
★ 数学A 確率     (第4問)
★ 数学B 数列     (第4、5問)
★ 数学ⅢC(原則のみ) (第6問)
 


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