【後期】北海道大学 数学|2012年度大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

【後期】北海道大学 数学|2012年度大学入試数学

●北大後期は昨年より易化 誘導に乗ることができれば難しくない 


いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^



いよいよやってきました。2次試験の大学入試シーズンです。


2012年 大学入試数学の評価を書いていきます。



2012大学入試シリーズ第41弾。


後期日程第4弾です。




北海道大学です。



問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、

典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。



難易度の指標は、こんな感じです。


SHIN KATSUYA Online

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。


E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。


※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの

標準的な時間です。



したがって、

目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越える

ことも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、

ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。



※2012年の数学の記事から、「Principle Piece」という言葉が登場します。


>> 意味分かってから見たほうが、ぜったい数学の実力上がります^^



北海道大学 

(試験時間100分)




全体総評・合格ライン


昨年よりやさしくなりました。誘導にうまく乗れれば、方針は見えやすい問題です。パターン問題も多く(パターンとしてのレベルは高いですが)、得点しやすかったのではないでしょうか。


第4問は東京大学が好きそうな評価の問題で、みためはごついですが、評価問題としては標準です。

試験時間100分に対し、

目標解答時間合計は110分。



ちょっと多めですね。計算量も少なくないので、慌てなければいけないセットになっています。

KATSUYAは、51分で終了しています。






第1問・・・場合の数(B、20分、Lv.2)

カードを3人に配布する問題。nが入っていますが、なんてことはない、組み分けの問題です。



(2)もなんかややこしく見えますが、実はBさんのカードの配り方に対し、Aさんのカードの配り方もCさんのカードの配り方も1通りに決まることに気づけば楽勝です。 n+1~3n までに2n枚しかありませんから、当たり前なんですけどね^^



場合の数では、以下のことが原則になります。拙著「Principle Piece 数学A 集合と場合の数」  にも書いてあります^^

Principle Piece A-10

条件付きなら、制限のあるところから考える

制限が一番強いのはBさんなので、Bさんから考えるということです。



KATSUYAの感想


なんじゃこりゃ?いまいちスカっとしない問題。解けたからいいけど、波に乗れた気がしない。解答時間9分。





✩第2問・・・軌跡、距離の最小値(B、25分、Lv.2)


こちらは、角度一定の軌跡を求める問題と、軌跡上の点との距離の最小値を求める問題ですが、(1)に誘導があることで、難易度が下がっています。


45° または135° というところですが、こちらは2乗しても同値関係が保てるようになっているだけです。角度条件が主役になっている場合は、ベクトルの内積利用がいいでしょう。



※なお、図形的には円周角×2=中心角として、すぐに図形の概形は分かります。



また、円周上の点と円外の点Qとの距離に関しては、当然こうですね^^

Principle Piece Ⅱ

円の中心とQとの距離±半径

+を取れば最大、マイナスをとれば最小です。北大受験者なら知っているでしょう。





KATSUYAの感想


円の式だすのに、結構計算させるな。図形的にはすぐわかってしまうだけに、少しじれったい。ただし、検算にはいいか。解答時間13分。





✩第3問・・・絶対値付き積分(B、30分、Lv.2)

最近北大が好きな、絶対値付き積分です。難関大でも好んで出されます。どうしてか。場合分けも要りますし、計算量も多く、差が付きやすいからです。


ダジャレではありませんが、ゼッタイ値は、ゼッタイ外してください。そうでないと積分できません。では、どうやって外すのか。それを踏まえて、原則です。





Principle Piece Ⅲ

絶対値付き積分の解き方

中身が0になるときのxの値が積分区間にふくまれるかどうか で場合分け

本問を例にとりましょう。



中身が0になるのは、x=1/a のときです。積分区間は、1≦x≦e です。


ということで、以下の3つの場合に分ければいいことが分かります。


1. 1/a <1  すなわち a>1


2. 1≦1/a≦ e  すなわち 1/e≦a≦1


3. e<1/a すなわち 0<a<e/1



場合分けがわかれば、あとはひたすら計算ですから、出来るはずです。どこで符号が代わるのか。よくわからなければグラフ書いてください。

ULTIMATE Principle Piece 

数式処理が少しでも難しいと感じたらグラフ

ですよ~^^





KATYSUYAの感想


頻出問題。私は実はこの手の問題があまり嫌いではない(高校時代、解けると分かっているし、差もつくと分かっていたので、好んで解いていた)ので、さくっと終了。解答時間13分。





✩第4問・・・微分、不等式(BC、35分、Lv.2)


評価に関する問題です。東京大学が好きそうな問題ですが、東京大学で出すには、実は易し過ぎます。見た目がごっついだけで、そんなに難しくありません。


(1)は当然、差をとって微分です。(2)も、a= の形と、不等式の形をじっと見比べて、底の変換をすることと、そのときに log2 が出てくることに気づけばいけますね。


(3)は、(1)と(2)そのまま使うだけです。右側がちょっとめんどくさいですが、評価しにくいのなら実際に計算しちゃいましょう。69×69 ぐらい、10秒もあれば筆算で出来ますよ^^  


KATSUYAの感想


ごついけど、誘導多いから、スーパーダッシュジャンプ必要なし。解答時間16分。








合格ライン


全体的に方針が立ちやすかったので、完答できる問題もいくつかあります。


第1問は見掛け倒しを見抜いて、完答したいでしょう。

第2問は類題経験がないと、t=x^2-1ばっかりいじるかもしれませんね。ここは微妙。でも北大受験者であれば、ここは答えないと差をつけられます。


第3問は場合分けだけでもきちんとしておけば、計算は後回しでもOKでしょう。


第4問は誘導に乗れないと厳しいです。(1)では差がつかないので、(2)まではなんとかいきたい。



第2、3問の出来がポイントになりそうですね。


合格ラインは60%程度だと思います。




対策


過去問演習中心でOKです。過去問は解説や研究を熟読してください。ただし、過去問で出た、あるいは間違えた内容に類似する部分を、手持ちの問題集で補うこと忘れずに。



後期対策は基本的に前期終了後にやるので、期間的にも過去問をやり込んで終了だと思います。 




以上です^^ 次回は、横浜国立大学(理系) です。



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