【後期】東北大学 理系 数学|2012年度大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

【後期】東北大学 理系 数学|2012年度大学入試数学

●東北大理系後期は一昨年より易化 
(2011年は東日本大震災のため、後期試験が実施されていません)


いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^



いよいよやってきました。2次試験の大学入試シーズンです。


2012年 大学入試数学の評価を書いていきます。



2012大学入試シリーズ第39弾。


後期日程第2弾です。




東北大学(理系)です。



問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、

典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。



難易度の指標は、こんな感じです。


SHIN KATSUYA Online

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。


E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。


※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの

標準的な時間です。



したがって、

目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越える

ことも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、

ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。



※2012年の数学の記事から、「Principle Piece」という言葉が登場します。


>> 意味分かってから見たほうが、ぜったい数学の実力上がります^^



東北大学 理系

(試験時間150分)




全体総評・合格ライン


冒頭に書きました通り、2011年は東日本大震災の影響で、後期試験は実施されていません。2010年との比較になります。


(震災により「被害にあわれた方々には、心よりお見舞い申し上げます。私も定期的に被災地に学習支援に行っております。)


2010年は前期・後期ともに東大級の難易度でした。そのため、それに比べれば易化したといえますが、どちらかといえば例年通りに落ち着いたという感じです。

とはいえ、文理共通の第1問、第4問(類似)も良問で差がつくと思われますし、その他の問題も「これは絶対落とせない」というような簡単な問題はありませんでした。 試験としては適切でしょう。


試験時間150分に対し、

目標解答時間合計は170分。



ボリュームたっぷりですが、6問あるので、手がつくところからどんどんやっていくべきでした。

KATSUYAは、99分で終了しています。




☆第1問・・・不等式、指数・対数(B、計30分、Lv.2)


題材自体は標準的ですが、(1)と(2)に大したつながりがありません。そのため、どちらもまともに解く必要があります。

分析で「領域」書かれている予備校が多いですが、その通りです。では、なぜこれを見た瞬間にそうなるのか。


それは、以下の原則に従っています。

Principle Piece Ⅱ

条件が不等式のときは領域図示で解く

方程式であれば式変形にて文字を減らすことはできますが、不等式の場合は自由に動けるので、図示するほうがいいわけですね^^


このように原則を理解していれば、この問題はただの練習問題になったでしょう。


(2)は、2^(x+y)=XY になることを利用します。



KATSUYAの感想

原則に従い、領域図示して終了。(1)と(2)はつながりがなく、時間はかかった。解答時間18分。






第2問・・・微分法、最大値(B、30分、Lv.2)

また領域か?と思いきや、そっちよりもメンドウな理系の微分法の問題。


領域がこんなに単純ですが、曲線と直線を組み合わせると、基本的に面積はメンドクサイです(汗)



すなおに面積をaで表して微分するだけですが、計算量は多く、練習していないと結構苦労すると思います。


なお、K塾の解答には見受けられませんが、交点の1-√(1-a) よりも a の方が大きいことは、一言断っておいたほうがいいでしょう。


要するに、領域は存在するということを言っています。



0<1-a<1 のとき、 √(1-a)>1-a は明らかでいいと思うので、すぐですけど^^ 


あとはひたすら計算ですね。ラクは方法はありません。

KATSUYAの感想


領域は至極単純なのに、面積の式は非常にメンドウ。最大値を与える「a」であることがまだ救い。解答時間17分。 



第3問・・・空間ベクトル・最小値(B、25分、Lv.2)


ちょっと変わった空間ベクトル。パターン問題だけをやっていると詰まるかもしれません。


平面への垂線の原則は、この2つです。このように理解しておけば、聞かれ方が変わってもこわくない^^

Principle Piece B

点Aから平面Lへの垂線の足H

(1) 垂直条件(L⊥AH)

(2) 平面L上 

この2つです。今回は、(1)の条件として、 NHとADが平行であることが言えます。


(2)の条件は、AHとADが垂直になるということです。これに気づかないと厳しいですね。


(2)は、(1)が利用できます。何のために(1)を出したのか考えれば(1)も利用できるとは思いますが、べつにまともに距離計算してもかまわないです。2変数2次式の最小値に帰着します。



ただしその際には、L上にあるという条件をどう設定するかを考える必要があります。



【別解】というほどでもないですが・・・^^;


平面の方程式を用いて、Lの式が x+y+z=1 であることを利用しても、比較的簡単に解けます。東北大受験者であれば、Lの式ぐらいは出せるようになっておきましょう。



KATSUYAの感想


(2)は、私はまともに計算。係数等うっとしいですが、これぐらいはやります。解答時間20分。






第4問・・・確率(B、25分、Lv.2)

こちらも、ちょっと趣向の違う確率の問題です。数直線上の点の移動という、割とある題材ですが、あまりみかけませんね。 しかも、気づけばそこまで難しくないというか、ほぼ一瞬で終わってしまうパターン。


(1)は、「4」を通り、かつ「6」も通る確率。

(2)は、「1」はどっちでもよくて、あと3mまでは3の倍数以外全部通らないといけません。これに気づけば一瞬です。




KATSUYAの感想


(2)ははじめ漸化式パターンかと思ったが、3mを余裕で通り越すような場合を考えると、違う。素直にたどってみて、上の事実に気づく。解答時間15分。







第5問・・・複素数、三角関数(B、25分、Lv.2)


現行課程だから東北大で出しても試験になるかのような問題。ずるいです。


「複素数平面」が課程に入れば(今年高1になるみんなから)、こんな問題は東北大で出したら全員正解してしまいます。


極形式と呼ばれるテーマに入ります。



β=1/α  なんですね。 それを回りくどく(1)、(2)で頑張っています。


1=αの7乗を利用して、βをαに変えていくだけです。


三角比の和を極形式で出すのも、複素数平面を習えばよく出ます。



KATSUYAの感想


複素数平面が課程に入っていた私にとっては、楽勝すぎてつまらない。解答時間9分。






☆第6問・・・極限、不等式と区分求積(C、35分、Lv.2)

こちらは類題経験がないと、かなり難しいです。

まずは、内接円の半径を出す際の原則です。

Principle Piece Ⅰ

内接円の半径は面積媒介で求める 

これも、毎年本当によく使われますね~^^ 必ず頭に入れておきましょう。



また、区分求積と不等式では、以下が原則です。

Principle Piece Ⅲ

不等式と極限

区分求積可能関数ではさむ

ただし、はさむ関数は、極限が一致していなければいけませんご注意を。



また、区分求積においては、以下の感覚が非常に重要です。

Principle Piece Ⅲ

区分求積では端っこなんか気にしない

kがk+1に変わろうが、k+2に変わろうが、もっといえば、k+1000に変わろうが、関係ありません。変化するのは端っこだけです。定数の変化なんか和をとっても所詮定数ですから、1/n の世界では取るに足らないものです。




これを利用して、定数だけ変化させてはさんで、極限を求めます。これが原則。ただし、数学的センスもかなり必要なので、練習を積まないと難しいと思います。


本問は、上からの評価は与えられています。自分で下からの評価を加えて、はさむわけですね。そこがむずかしいところです。




KATSUYAの感想


下は自分で考えるのかぁ。まあ、上の2つの原則があれば、どうってことはない^^  解答時間20分。



合格ライン


得手不得手で、どの問題も「絶対解いて」とは言えない感じのセットです。


それでも、第1問は一番ましなので、抑えたいです。第2問も微分するだけなので、7割程度ほしい。

第3問~第6問で、どこまで稼げたかが勝負。第6問最後は捨てていいでしょう。


ここの4問で2完出来れば十分ですね^^  1完半でボーダーかな。



合格ラインは55%~60%ぐらいでしょう。





対策


今年、行列が出ませんでした。東北大前期・後期含めて行列よく出ます。(2015年以降はなくなります)

その他、頻出分野の確率、微積、ベクトルを中心に、浅い勉強ではなく、じっくり考える、質の深い学習が必要です。

パターン問題を一通り原則ごと頭に入れてからは、なるべくじっくり考える練習をしましょう。原則は少なくないので、適切なときに適切な原則を引き出す練習が必要です。



以上です^^ 次回は、東北大学 文系 です。

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