首都大学東京 理系 数学|2012年度大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

首都大学東京 理系 数学|2012年度大学入試数学

●首都大は昨年より易化 どの問題も方針が立ちやすい



いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^



いよいよやってきました。2次試験の大学入試シーズンです。


2012年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2012大学入試シリーズ第37弾。


はじまりました、国公立大学入試。


国公立シリーズ、第20弾。


首都大学東京(理系)です。



問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、

典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。



難易度の指標は、こんな感じです。


SHIN KATSUYA Online

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。


E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。


※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの

標準的な時間です。



したがって、

目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越える

ことも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、

ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。



※2012年の数学の記事から、「Principle Piece」という言葉が登場します。


>> 意味分かってから見たほうが、ぜったい数学の実力上がります^^



首都大学東京(理系)

(試験時間75分)




全体総評・合格ライン


昨年より易化しました。分野は頻出分野の行列と積分・極限からと、空間ベクトルから1問ですが、どれも標準的でした。

ただ、誘導にうまく乗らないと第2問や第3問は無駄な計算を強いられるので、時間的余裕がなくなります。そこが分かれ目でしたね。


試験時間75分に対し、

目標解答時間合計は80分。


適量ですね。問題の分野としても、ちょうど良かったのではないでしょうか。



KATSUYAは、33分で終了しています。方針がすぐたつ問題が多かったので、速かったです^^





第1問・・・接線、面積、極限(B、25分、Lv.2)


接線、面積、極限の融合問題ですが、扱っている関数は簡単で、計算量はそこまで膨れません。


面積を求める時の積分ですが、部分積分ですね。部分積分の原則です。

Principle Piece Ⅲ

部分積分で変形する優先順位 

→ 対数<整式<指数=三角


です。よって、今回はx=(x^2/2)’ と変形して部分積分です。


最後の極限ですが、t → ∞ で logt/t^p → 0 は証明なしに用いても構わないと思います。


教科書に公式として載っているわけではないですが、こちらを証明しようとすると、この問題全体よりもおおごとです。


時間がたっぷり余ったなら、証明しておけばいいでしょう。


その際の答案の書き方です。



答案にはとりあえず自明として書いておいて、その式に☆マークでもつけておきます。答えを出したあとで、「☆の証明」 と書いて、証明を書いておけばOKです。

途中に書くと、、証明自体がそもそも長いですし、実は採点者的にもこのほうがみやすかったりします。



KATSUYAの感想


上の事実は自明として解答させてもらいました。よって解答時間11分。






☆第2問・・・空間ベクトル(B、25分、Lv.2)


標準的な空間ベクトルの問題ですが、やることはそれなりに多いので、時間はかかります。


最後は、PQベクトルが(1)で求めた aベクトル と同じであることに気づかないと、無駄な計算を強いられるでしょう。


誘導が離れているのが、微妙なところですね^^;


計算も空間ベクトルの際に出てくる計算で、演習量で差がついた問題かと思われます。



やることが多いので、原則をいくつか紹介しておきましょう。

Principle Piece B

Oから平面ABCに下した垂線の足H

OHベクトルはABC上 s、t で表す。

OH⊥AB、OH⊥AC でs、t 消去

これで求められます。



また、今回のような問題の場合は、OHの長さは体積媒介にして求められます。

Principle Piece AB

空間(平面)における垂線の長さは

体積(面積)媒介も考える




他にも、体積や面積を媒介にするとうまくいくものとして、内接球(円)の半径などですね^^


最後は、以下の3つの条件で3座標がきまります。基本的に、条件は1つあれば1文字減ると考えましょう。

(1) PはL上   (2) QはBCD上  (3) PQ⊥BCD (PQベクトル=aベクトル)


最後は差がつきそうですね。





KATSUYAの感想


(4)の誘導が(1)にある意味がまったくわからない(汗) 首都大の誘導はたまによくわからないことがある。解答時間9分、


第3問・・・行列、n乗(B、30分、Lv.2)


首都大の頻出分野である、行列の問題です。今年は題材もn乗という頻出パターンで、標準的でしたね。


n乗の計算方法はいろいろありますが、今回はケーリー・ハミルトンと係数の漸化式利用でした。


最後は、計算がややこしいですが、2^(n+1)=2×2^n などを利用し、うまく項をまとめましょう。 


こちらも、数列の漸化式をいかにたくさん解いているか、で差が出ます。



首都大を受験する人(2013、2014年度受験者)は、行列が頻出なので、よく勉強しておきましょう。この分野は、演習量が減りがちですが。。。


※2015年度受験生は、行列が範囲から消えます。


KATSUYAの感想


今年の行列は標準的。誘導も丁寧。最後はちょっとめんどくさいが、これぐらいは計算する。解答時間13分。



合格ライン


どの問題も、取ろうと思えば取れる問題なので、あとは相性でしょう。3問中2問は完答したい。


時間的にもほぼぴったしなので。65%~70%としておきます。




対策


頻出分野の行列と積分の演習を怠らないようにしましょう。


2015年度以降は行列がなくなるので、出題分野に注目ですが、それまでは行列が出るでしょう。


また、年によっては、非常に計算がメンドウなものも出ます。計算力もある程度ないと、時間がなくなることもあります。


過去問をよく見ておき、傾向はとっととつかんでおきましょう。

以上です^^





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