東京工業大学 数学｜2012年度大学入試数学
●東工大は時間と問題数がともに増。難易度は変更なし。昨年のようなばらつきもなし
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾
いよいよやってきました。２次試験の大学入試シーズンです。
２０１２年 大学入試数学の評価を書いていきます。
２０１２大学入試シリーズ第３４弾。
はじまりました、国公立大学入試。
国公立シリーズ、第１７弾。
東京工業大学です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、
典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
難易度の指標は、こんな感じです。
D・・・難関大学でも難しい部類の問題。
E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの
標準的な時間です。
したがって、
目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越える
ことも、当然ありえます。
同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、
ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。
※２０１２年の数学の記事から、「Principle Piece」という言葉が登場します。
＞＞ 意味分かってから見たほうが、ぜったい数学の実力上がります＾＾
東京工業大学
（試験時間１８０分）
（標準解答時間とともに、東工大受験者の解答時間も載せておきます）
全体総評・合格ライン（昨年から大幅に変更！）
まずは、制限時間の変更です。１５０分 ⇒ １８０分 になりました。
また、問題数もそれに伴い、４問 ⇒ ６問 に増えています。
３０分の時間で、２問の増加です。第３問～第６問が、いつも通りの東工大の数学。全問ⅢCの分野でした。
第初の２問が、３０分の増加分と思われます。小問に分かれていて、全部で４問。この４問を３０分で解こうというわけですね＾＾
一般的に考えたら、とてもじゃないけど３０分で解くのは無理がある４問ですが、東工大受験者なら３０分で解けるようなレベルで、ここは全問正解必須です。
「ここが解けないんなら、うちにはいらないですよ （＾ε＾）♪」と言っているように聞こえます（苦笑）
あるいは、主要問題が全問ⅢC だから、「ⅠⅡABからもちょっと出しとこ＾＾」みたいなノリにも感じられます。実際、最初の２問は、ⅡABですしね。
まだ、従来通りの第３問～第６問は、２問が東工大にしては易しすぎる感じのレベル、２問が東工大受験者の実力を見るレベルです。
試験時間１８０分に対し、
目標解答時間合計は２４３分。
（東工大受験者なら１５２分）
ちょっと東工大受験者の計算力を速めに見積もったかな・・・＾＾； でもこんなもんだと思います。
ＫＡＴＳＵＹＡは、９９分で終了しています。昨年より簡単に感じるけど、それは昨年の第４問のせいです。全体的には昨年並みとしていいでしょう。
第１問（１）・・・ベクトル、内積（A、８分、５分、Lv.２）
小問とはいえ、これはいくらなんでも簡単すぎます。なめているのでしょうか（笑）
東工大受験者でなくても、抑えなければいけない問題。よって、いかに早く計算できるかが勝負です。
Principle Piece B
空間ベクトルは、３つの基本ベクトルをおく
原則を紹介するまでもないような問題でした。
KATSUYAの感想
コメントなし。解答時間３分。
第１問（２）・・・確率（B、１０分、６分、Lv.２）
こちらはまだまし。一般の大学で出題されれば、差がつきます。
私、ちょっと前に確率の問題をエントリーで出しましたが、ズバリ的中３歩手前ぐらいです＾＾；
東工大の問題のほうが簡単です＾＾
Principle Piece A
さいころ、カードで●の倍数 ⇒ 余事象
どうして余事象なのでしょう？ それは、
Principle Piece A
計算が楽な事象を数える
からです。 また、「●の倍数でない」のほうが、「１回も・・・・・が出ない」と出来るので、計算しやすいわけですね＾＾
KATSUYAの感想
こちらは蹴落とす問題としてはいい問題。解答時間４分。
☆第２問（１）・・・対数、常用対数（B、１５分、９分、Lv.２）
桁数の問題ですが、うまーいこと聞きますね。さすが東工大。
桁数と同時に、最高位の数字も吟味しなければ、桁数が出ないようになっています。
本来は２つに分かれている原則ですが、一緒に書いておきますね。
Principle Piece Ⅱ
常用対数
⇒桁数は整数部分で
⇒最高位の数は小数部分で
ですね＾＾
KATSUYAの感想
続けて良問。なるほど。でも東工大受験者なら解けるだろう。解答時間６分。
☆第２問（２）・・・ガウス、約数（B、２０分、１２分、Lv.２）
こちらも東工大らしい。東工大、ガウス記号好きですね。
しかし本問は小問だけあって、そこまで難しくないはずです。他の大学であれば標準でしょうが。。。
ULTIMATE Principle Piece
様子が分からないなら小さい数字で試す
です。 本問は、試せば、すぐにわかります。
KATSUYAの感想
増加した４問は、蹴落とすためだと確信。東工大受験者には易しい。解答時間５分。
第３問・・・微分、面積、最小値（C、６０分、４０分、Lv.２）
３次関数と線分共有点条件および面積の最小値の問題。
（１）は楽勝だと思いますが、（２）は解いていくと、見た目よりはるかにめんどくさいことが分かり、途中で計算いやになりそうです。
ただ、計算さえすればなんとかなるはずの問題なので、ここは東工大受験者の計算力のみせどころでしょう。
方針は立つでしょうから、計算力で差がついたと思われます。
KATSUYAの感想
あー、東工大っぽい
この計算量。 いやな感じ。 間違えているんじゃないかと思うような数値が出るが、見直す気になれなく、終了。あっていたので安心。 解答時間３７分。
第４問・・・漸化式、極限（B、３０分、２０分、v.２）
典型的な流れで、漸化式と極限を絡めたパターンです。
一般項も推定して帰納法の流れは予測がつきますし、極限も「示せ」で値自体は分かっているので、東工大にしてはかなり親切。
Principle Piece Ⅲ
Σの極限
⇒積分できる関数（式）ではさんで区分求積してはさみうち
本問はそこまで計算もややこしくなく、東工大受験者なら落とせない問題です。
KATSUYAの感想
誘導が多いな。東工大なら、いきなり一般項出せって言われてもおかしくないし、log2 なんか与えられてなくても全然納得いくけど。 解答時間１２分。
第５問・・・１次変換（B、２０分、２０分、Lv.２）
こちらも標準的１次変換の問題で、題材としては非常に有名。こちらは一般のレベルでも同じ時間で解けるかと思います。
（１）は、当然これです。
Principle Piece A
任意の点で ⇒ 簡単な点で必要条件を
（１，０）、（０，１）がやりやすいかと思います。
また、（２）は、十分性の議論に注意してください。（１）と、（２）の条件だけから決定した答案を書くと、減点確実です。
（１）は、必要条件でしかありませんから、十分性を議論する必要があります。
KATSUYAの感想
こちらもかなり標準的。（２）の十分性の議論が抜けるかどうかがポイントか。もしかしたら大きく減点するつもりかも。解答時間１２分。
第６問・・・体積（CD、６０分、４０分、Lv.２）
最終問だけあり、こちらは誘導もなし、そして難易度はかなり高め、計算量も多めの立体の問題。
東工大っぽさを感じさせる問題です。
当然断面を考えるわけですが、みんなは、この立体、どの軸に垂直な平面で切りますか？
ちなみに、どの軸で切っても出来ます。ただし、断面の形の求めやすさや、場合分けの数、計算量は変わります。
立体の切断に関する、原則です。立体頻出の大学を受験予定の人は、超重要！！
Principle Piece Ⅲ
立体の切断は、次数の高い文字の軸に垂直に切る
どうしてかは、ぜひ考えてみてください＾＾
なので、まず ｚ＝ｔ で切るのはよくないと分かります。次は・・・
Principle Piece Ⅲ
図形の対称性が保たれる面で切る
これは何となくわかりますね＾＾
これにより、 ｙ＝ｔ での切断が一番いいと分かります。
ちなみに、私は全軸で切ってやってみましたが、やはりこの原則に従わないと（ｚ軸で切ると）、最後までたどり着くのは難しいです。
２００３年の東大理系第３問、あるいは今年の阪大理系第３問に、ｚ軸で切った場合の考え方を利用した問題（誘導付き）があります。
この経験が１度もないと、おそらく積分計算は不可能に近いでしょう。
ただ、立体の形的にはｚ軸で切ってしまった人もいるかと思います。その気持ちは分かります。 これも東工大のうまいところですね。
KATSUYAの感想
最後は誘導なしか。問題の難易度にばらつきがあるな。去年よりはましやけど。解答時間２５分。
※各軸での、私の計算時間を書いておきます。ただ、回を追うごとに問題を把握しきっているため、一概に比較はできません。
ｙ＝ｔ 切断 ２５分。（問題文読む、最初に図を描く時間含む）
⇒ 断面難易度 、場合分け、積分難易度 ともに標準
ｘ＝ｔ 切断 ２５分 （計算のみ）
⇒ 断面難易度が、場合分け多くて難、積分難易度はｙ軸に同じ。
ｚ＝ｔ 切断 ３５分 （計算のみ）
⇒ 断面積難易度はやや難。 場合わけは実はいらない。しかし、積分難易度が激難
。
合格ライン
第１、２問はとりあえず放っておいて（あ、正解してってことです）
第４，５問の標準問題は細かい議論あるものの、８割以上の答案でおさえる。
残り時間で、第３問と第６問のどちらかでも、最後までたどりつければOKでしょう。
第１問～第６問、どれも配点同じなんですね（５０点×６）。であれば、合格ラインは２００点では足りないでしょう。２３０点前後かと思われます。４完半です。
対策
問題レベルは最難です。何より、受験者のレベルが高いので、多少の問題が解けたところで、差がつきません。
旧７帝大で出題されたとしても、捨ててもいいような問題が、ここだと捨てれません。
また、数ⅢCの出題割合が異常に高いのも特徴。
まずは数ⅢCの範囲までを、なるべく早めに一通り終わらせることが大事。黄色チャートレベルでもかまわないので、とにかく終わらせましょう。
そして、Ⅲを中心にした、じっくりレベルの演習をこなしていきます。難問に考え、対処することに慣れておくことが、東工大数学の最適な受験対策です。
原則(Principle Piece)の存在を確認するために量をこなし、自分で原則が適用出来るように、じっくり演習をおこなうことがベスト。
以上です＾＾
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