東京工業大学 数学|2012年度大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

東京工業大学 数学|2012年度大学入試数学

●東工大は時間と問題数がともに増。難易度は変更なし。昨年のようなばらつきもなし



いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^



いよいよやってきました。2次試験の大学入試シーズンです。


2012年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2012大学入試シリーズ第34弾。


はじまりました、国公立大学入試。


国公立シリーズ、第17弾。


東京工業大学です。



問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、

典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。



難易度の指標は、こんな感じです。


SHIN KATSUYA Online

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。


E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。


※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの

標準的な時間です。



したがって、

目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越える

ことも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、

ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。



※2012年の数学の記事から、「Principle Piece」という言葉が登場します。


>> 意味分かってから見たほうが、ぜったい数学の実力上がります^^



東京工業大学  

(試験時間180分)


(標準解答時間とともに、東工大受験者の解答時間も載せておきます)


全体総評・合格ライン(昨年から大幅に変更!)


まずは、制限時間の変更です。150分 ⇒ 180分 になりました。


また、問題数もそれに伴い、4問 ⇒ 6問 に増えています。

30分の時間で、2問の増加です。第3問~第6問が、いつも通りの東工大の数学。全問ⅢCの分野でした。




第初の2問が、30分の増加分と思われます。小問に分かれていて、全部で4問。この4問を30分で解こうというわけですね^^


一般的に考えたら、とてもじゃないけど30分で解くのは無理がある4問ですが、東工大受験者なら30分で解けるようなレベルで、ここは全問正解必須です。


「ここが解けないんなら、うちにはいらないですよ (^ε^)♪」と言っているように聞こえます(苦笑)


あるいは、主要問題が全問ⅢC だから、「ⅠⅡABからもちょっと出しとこ^^」みたいなノリにも感じられます。実際、最初の2問は、ⅡABですしね。




まだ、従来通りの第3問~第6問は、2問が東工大にしては易しすぎる感じのレベル、2問が東工大受験者の実力を見るレベルです。



試験時間180分に対し、

目標解答時間合計は243分。

(東工大受験者なら152分)

ちょっと東工大受験者の計算力を速めに見積もったかな・・・^^;  でもこんなもんだと思います。





KATSUYAは、99分で終了しています。昨年より簡単に感じるけど、それは昨年の第4問のせいです。全体的には昨年並みとしていいでしょう。





第1問(1)・・・ベクトル、内積(A、8分、5分、Lv.2)

小問とはいえ、これはいくらなんでも簡単すぎます。なめているのでしょうか(笑)


東工大受験者でなくても、抑えなければいけない問題。よって、いかに早く計算できるかが勝負です。


Principle Piece B

空間ベクトルは、3つの基本ベクトルをおく

原則を紹介するまでもないような問題でした。


KATSUYAの感想


コメントなし。解答時間3分。






第1問(2)・・・確率(B、10分、6分、Lv.2)


こちらはまだまし。一般の大学で出題されれば、差がつきます。


私、ちょっと前に確率の問題をエントリーで出しましたが、ズバリ的中3歩手前ぐらいです^^;


東工大の問題のほうが簡単です^^

Principle Piece A

さいころ、カードで●の倍数 ⇒ 余事象

どうして余事象なのでしょう? それは、

Principle Piece A

計算が楽な事象を数える

からです。 また、「●の倍数でない」のほうが、「1回も・・・・・が出ない」と出来るので、計算しやすいわけですね^^



KATSUYAの感想


こちらは蹴落とす問題としてはいい問題。解答時間4分。






☆第2問(1)・・・対数、常用対数(B、15分、9分、Lv.2)



桁数の問題ですが、うまーいこと聞きますね。さすが東工大。



桁数と同時に、最高位の数字も吟味しなければ、桁数が出ないようになっています。



本来は2つに分かれている原則ですが、一緒に書いておきますね。

Principle Piece Ⅱ

常用対数

⇒桁数は整数部分で

⇒最高位の数は小数部分で

ですね^^



KATSUYAの感想


続けて良問。なるほど。でも東工大受験者なら解けるだろう。解答時間6分。






☆第2問(2)・・・ガウス、約数(B、20分、12分、Lv.2)


こちらも東工大らしい。東工大、ガウス記号好きですね。


しかし本問は小問だけあって、そこまで難しくないはずです。他の大学であれば標準でしょうが。。。

ULTIMATE Principle Piece 

様子が分からないなら小さい数字で試す

です。 本問は、試せば、すぐにわかります。



KATSUYAの感想


増加した4問は、蹴落とすためだと確信。東工大受験者には易しい。解答時間5分。







第3問・・・微分、面積、最小値(C、60分、40分、Lv.2)

3次関数と線分共有点条件および面積の最小値の問題。


(1)は楽勝だと思いますが、(2)は解いていくと、見た目よりはるかにめんどくさいことが分かり、途中で計算いやになりそうです。

ただ、計算さえすればなんとかなるはずの問題なので、ここは東工大受験者の計算力のみせどころでしょう。


方針は立つでしょうから、計算力で差がついたと思われます。


KATSUYAの感想


あー、東工大っぽいショック!   この計算量。 いやな感じ。 間違えているんじゃないかと思うような数値が出るが、見直す気になれなく、終了。あっていたので安心。 解答時間37分。







第4問・・・漸化式、極限(B、30分、20分、v.2)

典型的な流れで、漸化式と極限を絡めたパターンです。


一般項も推定して帰納法の流れは予測がつきますし、極限も「示せ」で値自体は分かっているので、東工大にしてはかなり親切。

Principle Piece Ⅲ

Σの極限

⇒積分できる関数(式)ではさんで区分求積してはさみうち

本問はそこまで計算もややこしくなく、東工大受験者なら落とせない問題です。


KATSUYAの感想


誘導が多いな。東工大なら、いきなり一般項出せって言われてもおかしくないし、log2 なんか与えられてなくても全然納得いくけど。  解答時間12分。









第5問・・・1次変換(B、20分、20分、Lv.2)


こちらも標準的1次変換の問題で、題材としては非常に有名。こちらは一般のレベルでも同じ時間で解けるかと思います。


(1)は、当然これです。

Principle Piece A

任意の点で ⇒ 簡単な点で必要条件を

(1,0)、(0,1)がやりやすいかと思います。



また、(2)は、十分性の議論に注意してください。(1)と、(2)の条件だけから決定した答案を書くと、減点確実です。


(1)は、必要条件でしかありませんから、十分性を議論する必要があります。



KATSUYAの感想


こちらもかなり標準的。(2)の十分性の議論が抜けるかどうかがポイントか。もしかしたら大きく減点するつもりかも。解答時間12分。







第6問・・・体積(CD、60分、40分、Lv.2)

最終問だけあり、こちらは誘導もなし、そして難易度はかなり高め、計算量も多めの立体の問題。

東工大っぽさを感じさせる問題です。



当然断面を考えるわけですが、みんなは、この立体、どの軸に垂直な平面で切りますか?



ちなみに、どの軸で切っても出来ます。ただし、断面の形の求めやすさや、場合分けの数、計算量は変わります。



立体の切断に関する、原則です。立体頻出の大学を受験予定の人は、超重要!!


Principle Piece Ⅲ

立体の切断は、次数の高い文字の軸に垂直に切る

どうしてかは、ぜひ考えてみてください^^



なので、まず z=t で切るのはよくないと分かります。次は・・・

Principle Piece Ⅲ

図形の対称性が保たれる面で切る

これは何となくわかりますね^^



これにより、 y=t での切断が一番いいと分かります。




ちなみに、私は全軸で切ってやってみましたが、やはりこの原則に従わないと(z軸で切ると)、最後までたどり着くのは難しいです。



2003年の東大理系第3問、あるいは今年の阪大理系第3問に、z軸で切った場合の考え方を利用した問題(誘導付き)があります。


この経験が1度もないと、おそらく積分計算は不可能に近いでしょう。



ただ、立体の形的にはz軸で切ってしまった人もいるかと思います。その気持ちは分かります。 これも東工大のうまいところですね。





KATSUYAの感想


最後は誘導なしか。問題の難易度にばらつきがあるな。去年よりはましやけど。解答時間25分。



※各軸での、私の計算時間を書いておきます。ただ、回を追うごとに問題を把握しきっているため、一概に比較はできません。



y=t 切断  25分。(問題文読む、最初に図を描く時間含む)

⇒ 断面難易度 、場合分け、積分難易度 ともに標準



x=t 切断 25分 (計算のみ)

⇒ 断面難易度が、場合分け多くて難、積分難易度はy軸に同じ。


z=t 切断 35分 (計算のみ)

⇒ 断面積難易度はやや難。 場合わけは実はいらない。しかし、積分難易度が激難メラメラ




合格ライン


第1、2問はとりあえず放っておいて(あ、正解してってことです)

第4,5問の標準問題は細かい議論あるものの、8割以上の答案でおさえる。

残り時間で、第3問と第6問のどちらかでも、最後までたどりつければOKでしょう。


第1問~第6問、どれも配点同じなんですね(50点×6)。であれば、合格ラインは200点では足りないでしょう。230点前後かと思われます。4完半です。




対策


問題レベルは最難です。何より、受験者のレベルが高いので、多少の問題が解けたところで、差がつきません。


旧7帝大で出題されたとしても、捨ててもいいような問題が、ここだと捨てれません。


また、数ⅢCの出題割合が異常に高いのも特徴。


まずは数ⅢCの範囲までを、なるべく早めに一通り終わらせることが大事。黄色チャートレベルでもかまわないので、とにかく終わらせましょう。


そして、Ⅲを中心にした、じっくりレベルの演習をこなしていきます。難問に考え、対処することに慣れておくことが、東工大数学の最適な受験対策です。


原則(Principle Piece)の存在を確認するために量をこなし、自分で原則が適用出来るように、じっくり演習をおこなうことがベスト。



以上です^^


※ブログランキングに参加しました。よろしければ、クリックをお願い致します^^






大学受験 ブログランキングへ




【関連記事】

>> 前期 数学一覧(2012年)


>> 2011年の数学はこちらから


>> 2010年の数学はこちらから


>> 2012年の数学は、記事がバージョンUPします^^






関連するPrinciple シリーズ



>> Principle Piece 数学A 確率


>> Principle Piece 数学Ⅱ 指数・対数関数